(2,0 điểm) Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A,B\) sao cho \(OA = 4{\rm{ cm;}}\) \(OB = 6{\rm{ cm}}{\rm{.}}\) Lấy điểm \(C\) là trung điểm của đọa thẳng \(OA\).

          a) Kể tên các đoạn thẳng có trên hình vẽ. Tính độ dài đoạn thẳng \(AB.\)

          b) Điểm \(A\) có là trung điểm của đoạn \(CB\) không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A = \frac{{2025}}{{{2^2}}} + \frac{{2025}}{{{4^2}}} + \frac{{2025}}{{{6^2}}} + ... + \frac{{2025}}{{{{2024}^2}}}\)

\( = 2025 \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{2024}^2}}}} \right)\)

\( = 2025 \cdot \left[ {\frac{1}{{{{\left( {1 \cdot 2} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2 \cdot 2} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2 \cdot 3} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {2 \cdot 1012} \right)}^2}}}} \right]\)

\( = 2025 \cdot \left[ {\frac{1}{4} + \frac{1}{{4 \cdot {2^2}}} + \frac{1}{{4 \cdot {3^2}}} + ... + \frac{1}{{4 \cdot {{1012}^2}}}} \right]\)

\( = 2025 \cdot \left[ {\frac{1}{4} + \frac{1}{{4 \cdot {2^2}}} + \frac{1}{{4 \cdot {3^2}}} + ... + \frac{1}{{4 \cdot {{1012}^2}}}} \right]\)

\( = 2025 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}}} \right)\)

\( = \frac{{2025}}{4} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}}} \right)\).

Nhận thấy \(\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2 \cdot 2}} < \frac{1}{{1 \cdot 2}}\)

                  \(\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3 \cdot 3}} < \frac{1}{{2 \cdot 3}}\)

                   ….

                \(\frac{1}{{{{1012}^2}}} < \frac{1}{{1011 \cdot 1012}}\)

Suy ra \(1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}} < 1 + \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + ... + \frac{1}{{1011 \cdot 1012}}\)

Do đó, \(1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}} < 1 + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{1011}} - \frac{1}{{1012}}\)

           \(1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}} < 2 - \frac{1}{{1012}}\)

Suy ra \(A = \frac{{2025}}{4} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}}} \right) < \frac{{2025}}{4} \cdot \left( {2 - \frac{1}{{1012}}} \right)\)

Hay \(A < \frac{{2025}}{2} - \frac{{2025}}{{2024}} < \frac{{2025}}{2}\).

Vậy \(A < \frac{{2025}}{2}.\)

Hướng dẫn giải

Chiều rộng của thửa ruộng là: \(\frac{2}{3} \cdot 60 = 40{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Diện tích của thửa ruộng hình chữ nhật đó là: \(60 \cdot 40 = 2{\rm{ }}400{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Khối lượng lúa thu hoạch được trên thửa ruộng đó là: \(\left( {2{\rm{ }}400:100} \right) \cdot 50 = 1{\rm{ }}200\) (kg).

Đổi \(1{\rm{ }}200{\rm{ kg}} = 12\) (tạ).

Vậy người ta thu hoạch được 12 tạ thóc trên thửa ruộng đó.