(1,0 điểm) Biểu đồ tranh dưới đây cho biết số lượng đồ chơi bán được tại cửa hàng của bác Bình vào ngày Chủ nhật vừa qua.

a) Loại đồ chơi nào mà bác Bình bán được nhiều nhất trong ngày Chủ nhật? Số lượng của món đồ chơi đó là bao nhiêu?

b) Tính tổng số bộ đồ chơi cửa hàng đã bán được trong ngày Chủ nhật đó. Lập bảng thống kê số đồ chơi bán được trong ngày Chủ nhật của cửa hàng.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A = \frac{{2025}}{{{2^2}}} + \frac{{2025}}{{{4^2}}} + \frac{{2025}}{{{6^2}}} + ... + \frac{{2025}}{{{{2024}^2}}}\)

\( = 2025 \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{2024}^2}}}} \right)\)

\( = 2025 \cdot \left[ {\frac{1}{{{{\left( {1 \cdot 2} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2 \cdot 2} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2 \cdot 3} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {2 \cdot 1012} \right)}^2}}}} \right]\)

\( = 2025 \cdot \left[ {\frac{1}{4} + \frac{1}{{4 \cdot {2^2}}} + \frac{1}{{4 \cdot {3^2}}} + ... + \frac{1}{{4 \cdot {{1012}^2}}}} \right]\)

\( = 2025 \cdot \left[ {\frac{1}{4} + \frac{1}{{4 \cdot {2^2}}} + \frac{1}{{4 \cdot {3^2}}} + ... + \frac{1}{{4 \cdot {{1012}^2}}}} \right]\)

\( = 2025 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}}} \right)\)

\( = \frac{{2025}}{4} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}}} \right)\).

Nhận thấy \(\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2 \cdot 2}} < \frac{1}{{1 \cdot 2}}\)

                  \(\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3 \cdot 3}} < \frac{1}{{2 \cdot 3}}\)

                   ….

                \(\frac{1}{{{{1012}^2}}} < \frac{1}{{1011 \cdot 1012}}\)

Suy ra \(1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}} < 1 + \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + ... + \frac{1}{{1011 \cdot 1012}}\)

Do đó, \(1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}} < 1 + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{1011}} - \frac{1}{{1012}}\)

           \(1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}} < 2 - \frac{1}{{1012}}\)

Suy ra \(A = \frac{{2025}}{4} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}}} \right) < \frac{{2025}}{4} \cdot \left( {2 - \frac{1}{{1012}}} \right)\)

Hay \(A < \frac{{2025}}{2} - \frac{{2025}}{{2024}} < \frac{{2025}}{2}\).

Vậy \(A < \frac{{2025}}{2}.\)

Hướng dẫn giải

a) Số học sinh xếp loại Giỏi của khối 6 là: \(\frac{3}{5} \cdot 280 = 168\) (học sinh).

Số học sinh xếp loại Khá và Đạt của khối 6 là: \(280 - 168 = 112\) (học sinh).

Số học sinh xếp loại Khá của khối 6 là: \(112 \cdot \frac{5}{7} = 80\) (học sinh).

Vậy số học sinh xếp loại Đạt của khối 6 là: \(112 - 80 = 42\) (học sinh).

b) Tỉ số phần trăm số học sinh xếp loại Đạt với tổng số học sinh của khối lớp 6 là:

\(\frac{{42}}{{280}} \cdot 100\% = 15\% \).