(1,0 điểm) Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài \(60\) m, chiều rộng bằng \(\frac{2}{3}\) chiều dài. Trên thửa ruộng người ta trồng lúa, trung bình cứ \(100{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\) thu hoạch được 50 kg thóc. Hỏi trên thửa ruộng đó người ta thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A = \frac{{2025}}{{{2^2}}} + \frac{{2025}}{{{4^2}}} + \frac{{2025}}{{{6^2}}} + ... + \frac{{2025}}{{{{2024}^2}}}\)

\( = 2025 \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{2024}^2}}}} \right)\)

\( = 2025 \cdot \left[ {\frac{1}{{{{\left( {1 \cdot 2} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2 \cdot 2} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2 \cdot 3} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {2 \cdot 1012} \right)}^2}}}} \right]\)

\( = 2025 \cdot \left[ {\frac{1}{4} + \frac{1}{{4 \cdot {2^2}}} + \frac{1}{{4 \cdot {3^2}}} + ... + \frac{1}{{4 \cdot {{1012}^2}}}} \right]\)

\( = 2025 \cdot \left[ {\frac{1}{4} + \frac{1}{{4 \cdot {2^2}}} + \frac{1}{{4 \cdot {3^2}}} + ... + \frac{1}{{4 \cdot {{1012}^2}}}} \right]\)

\( = 2025 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}}} \right)\)

\( = \frac{{2025}}{4} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}}} \right)\).

Nhận thấy \(\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2 \cdot 2}} < \frac{1}{{1 \cdot 2}}\)

                  \(\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3 \cdot 3}} < \frac{1}{{2 \cdot 3}}\)

                   ….

                \(\frac{1}{{{{1012}^2}}} < \frac{1}{{1011 \cdot 1012}}\)

Suy ra \(1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}} < 1 + \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + ... + \frac{1}{{1011 \cdot 1012}}\)

Do đó, \(1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}} < 1 + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{1011}} - \frac{1}{{1012}}\)

           \(1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}} < 2 - \frac{1}{{1012}}\)

Suy ra \(A = \frac{{2025}}{4} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}}} \right) < \frac{{2025}}{4} \cdot \left( {2 - \frac{1}{{1012}}} \right)\)

Hay \(A < \frac{{2025}}{2} - \frac{{2025}}{{2024}} < \frac{{2025}}{2}\).

Vậy \(A < \frac{{2025}}{2}.\)

Hướng dẫn giải

a) Số học sinh xếp loại Giỏi của khối 6 là: \(\frac{3}{5} \cdot 280 = 168\) (học sinh).

Số học sinh xếp loại Khá và Đạt của khối 6 là: \(280 - 168 = 112\) (học sinh).

Số học sinh xếp loại Khá của khối 6 là: \(112 \cdot \frac{5}{7} = 80\) (học sinh).

Vậy số học sinh xếp loại Đạt của khối 6 là: \(112 - 80 = 42\) (học sinh).

b) Tỉ số phần trăm số học sinh xếp loại Đạt với tổng số học sinh của khối lớp 6 là:

\(\frac{{42}}{{280}} \cdot 100\% = 15\% \).