(2,0 điểm) Khối 6 của một trường có 280 học sinh. Tổng hợp kết quả học lực cuối năm có ba loại Giỏi, Khá và Đạt. Số học sinh giỏi chiếm \(\frac{3}{5}\) tổng số học sinh của khối, số học sinh khá chiếm \(\frac{5}{7}\) tổng số học sinh còn lại. Số học sinh còn lại là loại Đạt.

          a) Tính số học sinh xếp loại Giỏi, Khá và Đạt của khối 6.

          b) Tính tỉ số phần trăm số học sinh xếp loại Đạt với tổng số học sinh của khối 6.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A = \frac{{2025}}{{{2^2}}} + \frac{{2025}}{{{4^2}}} + \frac{{2025}}{{{6^2}}} + ... + \frac{{2025}}{{{{2024}^2}}}\)

\( = 2025 \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{2024}^2}}}} \right)\)

\( = 2025 \cdot \left[ {\frac{1}{{{{\left( {1 \cdot 2} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2 \cdot 2} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2 \cdot 3} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {2 \cdot 1012} \right)}^2}}}} \right]\)

\( = 2025 \cdot \left[ {\frac{1}{4} + \frac{1}{{4 \cdot {2^2}}} + \frac{1}{{4 \cdot {3^2}}} + ... + \frac{1}{{4 \cdot {{1012}^2}}}} \right]\)

\( = 2025 \cdot \left[ {\frac{1}{4} + \frac{1}{{4 \cdot {2^2}}} + \frac{1}{{4 \cdot {3^2}}} + ... + \frac{1}{{4 \cdot {{1012}^2}}}} \right]\)

\( = 2025 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}}} \right)\)

\( = \frac{{2025}}{4} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}}} \right)\).

Nhận thấy \(\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2 \cdot 2}} < \frac{1}{{1 \cdot 2}}\)

                  \(\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3 \cdot 3}} < \frac{1}{{2 \cdot 3}}\)

                   ….

                \(\frac{1}{{{{1012}^2}}} < \frac{1}{{1011 \cdot 1012}}\)

Suy ra \(1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}} < 1 + \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + ... + \frac{1}{{1011 \cdot 1012}}\)

Do đó, \(1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}} < 1 + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{1011}} - \frac{1}{{1012}}\)

           \(1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}} < 2 - \frac{1}{{1012}}\)

Suy ra \(A = \frac{{2025}}{4} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{1012}^2}}}} \right) < \frac{{2025}}{4} \cdot \left( {2 - \frac{1}{{1012}}} \right)\)

Hay \(A < \frac{{2025}}{2} - \frac{{2025}}{{2024}} < \frac{{2025}}{2}\).

Vậy \(A < \frac{{2025}}{2}.\)

Hướng dẫn giải

Chiều rộng của thửa ruộng là: \(\frac{2}{3} \cdot 60 = 40{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Diện tích của thửa ruộng hình chữ nhật đó là: \(60 \cdot 40 = 2{\rm{ }}400{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Khối lượng lúa thu hoạch được trên thửa ruộng đó là: \(\left( {2{\rm{ }}400:100} \right) \cdot 50 = 1{\rm{ }}200\) (kg).

Đổi \(1{\rm{ }}200{\rm{ kg}} = 12\) (tạ).

Vậy người ta thu hoạch được 12 tạ thóc trên thửa ruộng đó.