Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có cạnh đáy bằng \[a\], tâm \[O\]. Gọi \[M\] và \[N\] lần lượt là trung điểm của \[SA\] và \[BC\]. Biết rằng góc giữa \[MN\] và \[\left( {ABCD} \right)\] bằng \(60^\circ \), côsin của góc giữa đường thẳng \[MN\] và mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] bằng:

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\]như hình vẽ. Đặt \[SO = m\,,\,\,\left( {m > 0} \right)\].

\[A\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right);\,S\left( {0;0;m} \right);\,N\left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{4};\,\frac{{a\sqrt 2 }}{4};0} \right)\]\[ \Rightarrow M\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4};\,0;\,\frac{m}{2}} \right)\].\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{4}; - \frac{m}{2}} \right)\]. Mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] có véc tơ pháp tuyến \[\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\].

\[ \Rightarrow \sin \left( {MN,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\frac{m}{2}}}{{\sqrt {\frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{{m^2}}}{4}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow {m^2} = \frac{{15{a^2}}}{8} + \frac{{3{m^2}}}{4}\].

\[ \Rightarrow 2{m^2} = 15{a^2} \Rightarrow m = \frac{{a\sqrt {30} }}{2}\]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{4}; - \frac{{a\sqrt {30} }}{4}} \right)\], mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] có véc tơ pháp tuyến là \[\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\].

\[ \Rightarrow \sin \left( {MN,\,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{8} + \frac{{30{a^2}}}{{16}}} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow c{\rm{os}}\left( {MN,\,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].