Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy hình vuông. Cho tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) và góc \(SBA\) bằng \({30^0}\). Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi \(M,N\) là trung điểm \(AB,BC\). Tìm cosin góc tạo bởi hai đường thẳng \(\left( {SM,DN} \right)\).

Đặt hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ. Khi đó, ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {a;0;0} \right)\), \(D\left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right)\), \(S\left( {0;0;a} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {BD}  = \left( { - a;a\sqrt 3 ;0} \right) = a\left( { - 1;\sqrt 3 ;0} \right)\), nên đường thẳng \(BD\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;\sqrt 3 ;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {SB}  = \left( {a;0; - a} \right)\), \(\overrightarrow {BC}  = \left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {{a^2}\sqrt 3 ;0;{a^2}\sqrt 3 } \right)\)\( = {a^2}\sqrt 3 \left( {1;0;1} \right)\).

Như vậy, mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;0;1} \right)\).

Do đó, \(\alpha \) là góc tạo bởi giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) thì

\(\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \sqrt 3 .0 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\sqrt 3 }^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }}\)\( = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Đặt không gian \[Oxyz\] với \(A \equiv O(0;0;0),{\rm{ }}AB \equiv Ox,{\rm{ }}AD \equiv Oy,{\rm{ }}AS \equiv Oz\).

Ta có: \(S(0;0;a),{\rm{ }}B(a;0;0),{\rm{ }}D(0;2a;0),{\rm{ }}C(a;a;0)\).

\(M(\frac{a}{2};0;\frac{a}{2}),{\rm{ }}N(\frac{a}{2};\frac{{3a}}{2};0)\)

\(\overrightarrow {MN}  = (0;\frac{{3a}}{2};\frac{{ - a}}{2})\)

\[\overrightarrow {AS}  = (0;0;a),\overrightarrow {{\rm{ }}AC}  = (a;a;0)\]

\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - {a^2};{a^2};0)\] là vtpt của mặt phẳng \((SAC)\).

\(\sin (MN;(SAC)) = \frac{{\overrightarrow {MN} .{{\overrightarrow n }_{(SAC)}}}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|\left| {{{\overrightarrow n }_{(SAC)}}} \right|}} = \frac{{\frac{{3{a^3}}}{2}}}{{\sqrt {\frac{{9{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4}} .\sqrt {{a^4} + {a^4}} }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\).