Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\) và \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SC,\,SD\)(tham khảo hình vẽ bên). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).
A. \(\frac{{2\sqrt {39} }}{{39}}\).
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
C. \(\frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}\).
D. \(\frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ. Khi đó
\(S\left( {0;\,0;\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\); \(A\left( {\frac{{ - a}}{2};0;\,0} \right)\); \(B\left( {\frac{a}{2};0;\,0} \right)\);\(C\left( {\frac{a}{2};a;\,0} \right)\); \(D\left( {\frac{{ - a}}{2};a;\,0} \right)\)
suy ra \(G\left( {0;\,0;\,\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)\); \(M\left( {\frac{a}{4};\frac{a}{2};\,\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)\); \(N\left( { - \frac{a}{4};\frac{a}{2};\,\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)\)
Ta có mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)có vectơ pháp tuyến là \(\vec k = \left( {0;\,0;\,1} \right)\), mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\)có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {GM} ;\,\overrightarrow {GN} } \right] = \left( {0;\, - \frac{{a\sqrt 3 }}{{24}};\,\frac{a}{4}} \right)\)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\), ta có
\[{\rm{cos}}\alpha = \frac{{\left| {\vec n.\vec k} \right|}}{{\left| {\vec n} \right|.\left| {\vec k} \right|}}\]\[ = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{{\sqrt {39} }}{{24}}}}\]\[ = \frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}\].
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
B. \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
C. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).
Lời giải
Chọn B
Trong \(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(SH \bot AB\) tại \(H\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Kẻ tia \(Az\)//\(SH\) và chọn hệ trục tọa độ \(Axyz\) như hình vẽ sau đây.
Trong tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\),
Trong tam giác \(SBH\) vuông tại \(H\),
\(AH = AB - BH = a - \frac{{3a}}{4} = \frac{a}{4}\) \( \Rightarrow H\left( {0;\frac{a}{4};0} \right) \Rightarrow S\left( {0;\frac{a}{4};\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)\).
\(M\left( {0;\frac{a}{2};0} \right)\), \(D\left( {a;0;0} \right)\), \(N\left( {\frac{a}{2};a;0} \right)\).
Ta có: \[\overrightarrow {SM} = \left( {0;\frac{a}{4}; - \frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)\], \(\overrightarrow {DN} = \left( { - \frac{a}{2};a;0} \right)\) \( \Rightarrow \)\[\cos \left( {SM,DN} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {DN} } \right|}}{{SN.DN}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4}}}{{\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\].
Câu 2
A. \[\sin \alpha = \frac{{\sqrt 7 }}{8}\].
B. \[\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
C. \[\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\].
D. \[\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{5}\].
Lời giải
Chọn C
Đặt hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ. Khi đó, ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {a;0;0} \right)\), \(D\left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right)\), \(S\left( {0;0;a} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {BD} = \left( { - a;a\sqrt 3 ;0} \right) = a\left( { - 1;\sqrt 3 ;0} \right)\), nên đường thẳng \(BD\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;\sqrt 3 ;0} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {SB} = \left( {a;0; - a} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {{a^2}\sqrt 3 ;0;{a^2}\sqrt 3 } \right)\)\( = {a^2}\sqrt 3 \left( {1;0;1} \right)\).
Như vậy, mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;0;1} \right)\).
Do đó, \(\alpha \) là góc tạo bởi giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) thì
\(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \sqrt 3 .0 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\sqrt 3 }^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }}\)\( = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
Câu 3
A. \(\frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}.\)
B. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}.\)
C. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}.\)
D. \(\frac{{\sqrt {55} }}{{10}}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).\[\]
B. \(\frac{{\sqrt {41} }}{{41}}\).
C. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
D. \(\frac{{2\sqrt {41} }}{{41}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\frac{{17\sqrt {13} }}{{65}}\)
B. \(\frac{{18\sqrt {13} }}{{65}}\)
C. \(\frac{{6\sqrt {13} }}{{65}}\)
D. \(\frac{{\sqrt {13} }}{{65}}\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \[\frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
B. \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
C. \[\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].
D. \[\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo