Phần II. Tự luận (7,0 điểm)

Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - 1}}{x},\) với \(x \ne 0,\,\,x \ne 1,\,\,x \ne - 1.\)

a) Vì \[H\] là giao điểm của ba đường cao \[AE,\,\,BD,\,\,CF\] nên \[H\] là trực tâm của \[\Delta ABC\]

Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta ACF\] có:

\[\widehat {BAD}\] chung; \[\widehat {ADB} = \widehat {AFC} = 90^\circ \].

Do đó

b) Ta có  (câu a) suy ra \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}.\)

• Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta ADF\] có:

\[\widehat {BAC}\] chung; \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}.\)

Do đó

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{DF}}\) hay \[AB \cdot DF = AD \cdot BC\] (đpcm).

• Xét \[\Delta BEH\] và \[\Delta BDC\] có:

\(\widehat {EBH}\) chung; \(\widehat {BEH} = \widehat {BDC} = 90^\circ .\)

Do đó

Suy ra \(\frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{BH}}{{BC}}\) hay \[BH \cdot BD = BE \cdot BC\]. (1)

Tương tự: \[CH \cdot CF = CE \cdot CB\].      (2)

Từ (1) và (2) ta có: \[BH \cdot BD + CH \cdot CF = BE \cdot BC + CE \cdot BC\]

\[ = BC\left( {BE + CE} \right) = BC \cdot BC = B{C^2}\]. (đpcm).

Mặt khác: \[\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}}\]

\[ = \frac{{\frac{1}{2} \cdot HE \cdot BC}}{{\frac{1}{2} \cdot AE \cdot BC}} + \frac{{\frac{1}{2} \cdot HD \cdot AC}}{{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC}} + \frac{{\frac{1}{2} \cdot HF \cdot AB}}{{\frac{1}{2} \cdot CF \cdot AB}}\]

\[ = \frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{BAC}}}} + \frac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{CAB}}}}\]

\[ = \frac{{{S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1.\] (đpcm)

Vậy \[BH \cdot BD + CH \cdot CF = B{C^2}\] và \(\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}} = 1.\)

Ta có \[D = 2{x^2} + {y^2} - 6x + 2xy - 2y + 7\]

\[ = \frac{1}{2}\left( {4{x^2} + 2{y^2} - 12x + 4xy - 4y + 14} \right)\]

\[ = \frac{1}{2}\left[ {\left( {{y^2} + 2y + 1} \right) + \left( {4{x^2} + {y^2} + 9 + 4xy - 12x - 6y} \right)} \right] + 2\]

\[ = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {y + 1} \right)}^2} + {{\left( {2x + y - 3} \right)}^2}} \right] + 2 \ge 2\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = 2\,;\,\,y = - 1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(D\) là 2 khi \(x = 2\,;\,\,y = - 1.\)