Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; −1; 1), C'(4; 5; −5). Tìm tọa độ đỉnh C của hình hộp.

Các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là \(\overrightarrow i  = \overrightarrow {OC} ,\overrightarrow j  = \overrightarrow {OE} ,\overrightarrow k  = \overrightarrow {OH} \) với E là điểm thuộc tia Oy sao cho OE = 1 và H là điểm thuộc tia Oz sao cho OH = 1.

Vì DABC đều và AO ^ BC nên O là trung điểm của BC.

Mà BC = 2 nên OB = OC = 1 và \(OA = \sqrt 3 \).

Vì \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow j \) cùng hướng và \(OA = \sqrt 3 \) nên \(\overrightarrow {OA}  = \sqrt 3 \overrightarrow j \).

Theo quy tắc hình bình hành, ta có \(\overrightarrow {OS}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OH}  = \sqrt 3 \overrightarrow j  + \overrightarrow k \).

Suy ra \(S\left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)\). Vậy a + b + c = 0 + 3 + 1 = 4.

Trả lời: 4.

Ta có \(\overrightarrow {OA}  = 6\overrightarrow i ;\overrightarrow {OC}  = 8\overrightarrow j ;\overrightarrow {OO'}  = 5\overrightarrow k \).

Theo quy tắc hình hộp ta có \(\overrightarrow {OB'}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OO'} \)\( = 6\overrightarrow i  + 8\overrightarrow j  + 5\overrightarrow k \).

Suy ra B'(6; 8; 5).