Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O'A'B'C' có A(1; 1; −1), B(0; 3; 0), \(\overrightarrow {BC'}  = \left( {2; - 6;6} \right)\). Gọi H, K lần lượt là trọng tâm của tam giác OA'O' và CB'C'.

a) \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow i  + \overrightarrow j  - \overrightarrow k \).

b) Tọa độ điểm C' là (2; −3; 6).

c) Cho điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy). Khi độ dài đoạn thẳng AM ngắn nhất thì M(0; 0; −1).

d) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {HK}  = \left( { - 1;2; - 1} \right)\).

Các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là \(\overrightarrow i  = \overrightarrow {OC} ,\overrightarrow j  = \overrightarrow {OE} ,\overrightarrow k  = \overrightarrow {OH} \) với E là điểm thuộc tia Oy sao cho OE = 1 và H là điểm thuộc tia Oz sao cho OH = 1.

Vì DABC đều và AO ^ BC nên O là trung điểm của BC.

Mà BC = 2 nên OB = OC = 1 và \(OA = \sqrt 3 \).

Vì \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow j \) cùng hướng và \(OA = \sqrt 3 \) nên \(\overrightarrow {OA}  = \sqrt 3 \overrightarrow j \).

Theo quy tắc hình bình hành, ta có \(\overrightarrow {OS}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OH}  = \sqrt 3 \overrightarrow j  + \overrightarrow k \).

Suy ra \(S\left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)\). Vậy a + b + c = 0 + 3 + 1 = 4.

Trả lời: 4.

Ta có \(\overrightarrow {OA}  = 6\overrightarrow i ;\overrightarrow {OC}  = 8\overrightarrow j ;\overrightarrow {OO'}  = 5\overrightarrow k \).

Theo quy tắc hình hộp ta có \(\overrightarrow {OB'}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OO'} \)\( = 6\overrightarrow i  + 8\overrightarrow j  + 5\overrightarrow k \).

Suy ra B'(6; 8; 5).