Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M: biết hình chiếu của M lên trục Ox là ứng với số 3; hình chiếu của M lên trục Oy ứng với số −5; hình chiếu của M lên trục Oz ứng với số 4.

a) Điểm M có tọa độ là M(3; −5; 4).

b) Điểm M1(0; 5; 0) là hình chiếu của điểm M lên trục Oy.

c) Điểm M2(3; 0; 4) là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng tọa độ Oxz.

d) Cho điểm M3 thỏa mãn \(\overrightarrow {O{M_3}}  =  - 3\overrightarrow i  + 5\overrightarrow j  - 4\overrightarrow k \). Vậy điểm M3 đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ O.

Các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là \(\overrightarrow i  = \overrightarrow {OC} ,\overrightarrow j  = \overrightarrow {OE} ,\overrightarrow k  = \overrightarrow {OH} \) với E là điểm thuộc tia Oy sao cho OE = 1 và H là điểm thuộc tia Oz sao cho OH = 1.

Vì DABC đều và AO ^ BC nên O là trung điểm của BC.

Mà BC = 2 nên OB = OC = 1 và \(OA = \sqrt 3 \).

Vì \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow j \) cùng hướng và \(OA = \sqrt 3 \) nên \(\overrightarrow {OA}  = \sqrt 3 \overrightarrow j \).

Theo quy tắc hình bình hành, ta có \(\overrightarrow {OS}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OH}  = \sqrt 3 \overrightarrow j  + \overrightarrow k \).

Suy ra \(S\left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)\). Vậy a + b + c = 0 + 3 + 1 = 4.

Trả lời: 4.

Ta có \(\overrightarrow {OA}  = 6\overrightarrow i ;\overrightarrow {OC}  = 8\overrightarrow j ;\overrightarrow {OO'}  = 5\overrightarrow k \).

Theo quy tắc hình hộp ta có \(\overrightarrow {OB'}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OO'} \)\( = 6\overrightarrow i  + 8\overrightarrow j  + 5\overrightarrow k \).

Suy ra B'(6; 8; 5).