Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) và \(AB = a\), \[AD = b\], \(AA' = c\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(DC'D'\).

a) Có 3 vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp chữ nhật bằng \(\overrightarrow {AB} \).

b) \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).

c) \(\overrightarrow {AG}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AD} \) và \(AG = \sqrt {\frac{1}{9}{a^2} + \frac{4}{9}{c^2} + {b^2}} \).

d) \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {AG}  = \frac{1}{6}{a^2} + {b^2} + \frac{2}{3}{c^2}\).

Lời giải

a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow {D'C'}  = \overrightarrow {DC} \).

b) Sai. Vì \(\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow {AB} \) (do \(ABB'A'\) là hình bình hành), \[\overrightarrow {B'M}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {B'C'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \] (do \(M\) là trung điểm của \(B'C'\), và \(ADC'B'\) là hình bình hành).

Nên ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {B'M}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

c) Đúng. Ta có: \(3\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AD'}  + \overrightarrow {AC'} \) (vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(DC'D'\)).

Mà \(\overrightarrow {AD'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AD} \) (vì \(ADD'A'\) là hình bình hành), \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) (do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp).

Nên \(3\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AA'}  + 3\overrightarrow {AD}  \Rightarrow \overrightarrow {AG}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AD} \).

Bình phương 2 vế và lưu ý \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AA'}  = 0\) (các vectơ đôi một vuông góc) ta có:

\(A{G^2} = \frac{1}{9}A{B^2} + \frac{4}{9}A{A'^2} + A{D^2} = \frac{1}{9}{a^2} + \frac{4}{9}{c^2} + {b^2}\)\( \Rightarrow AG = \sqrt {\frac{1}{9}{a^2} + \frac{4}{9}{c^2} + {b^2}} \).

d) Sai. Vì \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AA'}  = 0\) (các vectơ đôi một vuông góc).

Nên ta có: \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {AG}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)\)

                                 \( = \frac{1}{3}A{B^2} + \frac{1}{2}A{D^2} + \frac{2}{3}A{A'^2}\)\( = \frac{1}{3}{a^2} + \frac{1}{2}{b^2} + \frac{2}{3}{c^2}\).