PHẦN II. TỰ LUẬN

Cho đồ thị hàm số \(y = 2{e^{ - {x^2}}}\) như hình vẽ. \(ABCD\) là hình chữ nhật thay đổi sao cho \(B\) và \(C\) luôn thuộc đồ thị hàm số đã cho và \(AD\) nằm trên trục hoành. Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải

Ta có \(C\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{ - x + d}} \cdot \) Từ đồ thị suy ra \(b = 0\,;d = 100\,;\,a = 200 \Rightarrow C\left( x \right) = \frac{{200x}}{{100 - x}} \cdot \)

Chi phí chênh lệch là \(\Delta C = \left| {C\left( {99} \right) - C\left( {90} \right)} \right| = \left| {\frac{{200 \cdot 99}}{{100 - 99}} - \frac{{200 \cdot 90}}{{100 - 90}}} \right| = 18\,000\) (triệu đồng) \( = 18\) (tỉ đồng).

Đáp án: 18.

Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow M\left( {{x_0};\frac{{x_0^2 + 4{x_0} + 5}}{{{x_0} + 2}}} \right)\].

Gọi \[\left( d \right)\] là khoảng cách từ \[M\] đến đường thẳng \[3x + y + 6 = 0\].

Ta có \[d = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\left| {\frac{{4x_0^2 + 16{x_0} + 17}}{{{x_0} + 2}}} \right| = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\left| {4\left( {{x_0} + 2} \right) + \frac{1}{{{x_0} + 2}}} \right| \ge \frac{4}{{\sqrt {10} }}\].

Đẳng thức xảy ra \[ \Leftrightarrow 4\left| {{x_0} + 2} \right| = \frac{1}{{\left| {{x_0} + 2} \right|}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{ - 3}}{2} \Rightarrow {y_0} = \frac{5}{2}\\{x_0} = \frac{{ - 5}}{2} \Rightarrow {y_0} =  - \frac{5}{2}\end{array} \right.\].

Vậy có hai điểm thoả yêu cầu bài toán là \[{M_1}\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{5}{2}} \right)\] và \[{M_2}\left( {\frac{{ - 5}}{2};\frac{{ - 5}}{2}} \right)\].