B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Hỏi hàm số $y=\frac{x^2-3x+5}{x+1}$ có đồ thị \(\left( C \right)\).

a) Đồ thị \(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\).

b) Đường thẳng \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị \(\left( C \right)\).

c) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 4; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;2} \right)\).

d) Đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \(y = 2x + 3\).

a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {D'C'} = \overrightarrow {DC} \).

b) Sai. Vì \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {AB} \) (do \(ABB'A'\) là hình bình hành), \[\overrightarrow {B'M} = \frac{1}{2}\overrightarrow {B'C'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \] (do \(M\) là trung điểm của \(B'C'\), và \(ADC'B'\) là hình bình hành).

Nên ta có: \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {B'M} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

c) Đúng. Ta có: \(3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {AC'} \) (vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(DC'D'\)).

Mà \(\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} \) (vì \(ADD'A'\) là hình bình hành), \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) (do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp).

Nên \(3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AA'} + 3\overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} \).

Bình phương 2 vế và lưu ý \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0\) (các vectơ đôi một vuông góc) ta có:

\(A{G^2} = \frac{1}{9}A{B^2} + \frac{4}{9}A{A'^2} + A{D^2} = \frac{1}{9}{a^2} + \frac{4}{9}{c^2} + {b^2}\)\( \Rightarrow AG = \sqrt {\frac{1}{9}{a^2} + \frac{4}{9}{c^2} + {b^2}} \).

d) Sai. Vì \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0\) (các vectơ đôi một vuông góc).

Nên ta có: \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AG} = \left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)\)

                                 \( = \frac{1}{3}A{B^2} + \frac{1}{2}A{D^2} + \frac{2}{3}A{A'^2}\)\( = \frac{1}{3}{a^2} + \frac{1}{2}{b^2} + \frac{2}{3}{c^2}\).

Gọi \(x\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) là cạnh đáy của chiếc thùng \(\,\left( {x > 0} \right)\).

Khi đó diện tích đáy thùng là \(x{\,^2}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Vì thể tích thùng là \(2000\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nên chiều cao hộp là \(h = \frac{{2000}}{{{x^2}}}\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Tổng diện tích các bề mặt của chiếc thùng là: \(S = 2{x^2} + 4xh = \,\,2{x^2} + \frac{{8000}}{x}\,\,\,\left( {x > 0} \right)\).

Ta có \(S' = 4x - \frac{{8000}}{{{x^2}}}\,\, = \frac{{4{x^3} - 8000}}{{{x^2}}};\,\,\,S'\, = 0 \Leftrightarrow x = 10\sqrt[3]{2}\).

Bằng cách bảng biến thiên, dễ thấy diện tích bề mặt thùng nhỏ nhất khi cạnh đáy của thùng là \(10\sqrt[3]{2}\) và chiều cao của thùng là \(\frac{{20}}{{\sqrt[3]{4}}}\).

Vậy nguyên liệu để sản xuất chiếc thùng là ít nhất khi chiều cao thùng là \(\frac{{20}}{{\sqrt[3]{4}}}\,\,{\rm{cm}}.\)