Một thùng rác thông minh cảm ứng tự động đóng mở dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là $2000 c{m}^3.$ Thùng rác được làm bằng nhựa ABS có độ bền cao, chịu nhiệt, cách điện, chống nước. Để lượng vật liệu dùng để sản xuất thùng rác là nhỏ nhất thì chiều cao của chiếc hộp bằng bao nhiêu?

a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {D'C'} = \overrightarrow {DC} \).

b) Sai. Vì \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {AB} \) (do \(ABB'A'\) là hình bình hành), \[\overrightarrow {B'M} = \frac{1}{2}\overrightarrow {B'C'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \] (do \(M\) là trung điểm của \(B'C'\), và \(ADC'B'\) là hình bình hành).

Nên ta có: \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {B'M} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

c) Đúng. Ta có: \(3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {AC'} \) (vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(DC'D'\)).

Mà \(\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} \) (vì \(ADD'A'\) là hình bình hành), \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) (do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp).

Nên \(3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AA'} + 3\overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} \).

Bình phương 2 vế và lưu ý \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0\) (các vectơ đôi một vuông góc) ta có:

\(A{G^2} = \frac{1}{9}A{B^2} + \frac{4}{9}A{A'^2} + A{D^2} = \frac{1}{9}{a^2} + \frac{4}{9}{c^2} + {b^2}\)\( \Rightarrow AG = \sqrt {\frac{1}{9}{a^2} + \frac{4}{9}{c^2} + {b^2}} \).

d) Sai. Vì \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0\) (các vectơ đôi một vuông góc).

Nên ta có: \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AG} = \left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)\)

                                 \( = \frac{1}{3}A{B^2} + \frac{1}{2}A{D^2} + \frac{2}{3}A{A'^2}\)\( = \frac{1}{3}{a^2} + \frac{1}{2}{b^2} + \frac{2}{3}{c^2}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 500\left( {3 - \frac{7}{{3 + x}}} \right) = 1500\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = S\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(y = 1500\) làm tiệm cận ngang, tức là khi \(x\) càng lớn lượng sản phẩm bán ra sẽ tiến gần đến mức \(1500\) (sản phẩm/tháng).

Đáp án: 1500.