Câu hỏi:

31/08/2025 11 Lưu

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 8 và M là trung điểm CD. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} \).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 8 và M là trung điểm CD. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} \). (ảnh 1)

Vì ACD, BCD là tam giác đều cạnh 8 nên \(AM = BM = \frac{{8\sqrt 3 }}{2} = 4\sqrt 3 \).

Xét ABM có \(\cos \widehat {BAM} = \frac{{A{B^2} + A{M^2} - B{M^2}}}{{2.AB.AM}} = \frac{{{8^2} + {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2.8.4\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Ta có \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} } \right) = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \widehat {BAM} = 8.4\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 32\].

Trả lời: 32.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi I là tâm hình vuông ABCD. gọi G là trọng tâm của tam giác AB'C.
(a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} (ảnh 1)

a) Theo quy tắc hình hộp ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).

b) Vì G là trọng tâm AB'C nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

c) Theo quy tắc hình bình hành \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) mà \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'} \) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {A'C'} \).

d) Xét BDB' có I là trung điểm của BD và \(B'G = \frac{2}{3}B'I\) nên G là trọng tâm BDB'.

Gọi J là tâm của hình bình hành BDD'B'.

Khi đó \(\overrightarrow {BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BJ} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {BD'} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {BD'} = 3\overrightarrow {BG} \).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm MN.
(a) \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overri (ảnh 1)

a) Có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM} ;\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN} \).

Do đó \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0 \).

b) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \)\( = 4\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \)\( = 4\overrightarrow {MG} \).

c) d) Ta có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} \);

\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} \).

Suy ra \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {DN} \)\( = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \)\( = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} \)\( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Câu 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP