Một căn phòng thiết kế hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = AA' = 3m, \(AD = 3\sqrt 3 \)m. Xét hệ trục tọa độ Oxyz, đỉnh A ≡ O, các điểm B, D, A' lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz như hình vẽ

(a) Chiều cao của căn phòng là 3 m.

(b) Tọa độ của điểm B(3; 0; 0).

(c) \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 9\sqrt 2 \).

(d) Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {DC} \) bằng 60°.

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;0; - 1} \right),\overrightarrow b = \left( {3; - 5;6} \right)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; −2), B(2; −3; 5). Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA = 2MB. Tọa độ điểm M là

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1\;;\; - 2\;;\;7} \right);\;B\left( {5\;;6\;;\;3} \right);\;C\left( { - 4\;;\;7\;;\;10} \right)\).

(a)\(\overrightarrow {AB} = \left( {4\;;\;8\;;\; - 4} \right);\;\overrightarrow {AC} = \left( { - 5\;;\;9\;;\;3} \right);\;\overrightarrow {BC} = \left( { - 9\;;\;1\;;\;7} \right)\).

(b) Ba điểm A, B, C thẳng hàng.

(c) Chu vi tam giác ABC là \(4\sqrt 6 + \sqrt {115} + \sqrt {131} \).

(d) Diện tích tam giác \(ABC\)là \(S = \sqrt {590} \).

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(600; 400; 20) đến điểm N(800; 500; 30) trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tốc độ của máy bay sau 15 phút tiếp theo là P(a; b; c). Tính a + b + c.

Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 8m, rộng 6m và cao 4m có 1 cây quạt treo tường. Cây quạt A treo chính giữa bức tường và cách trần 1m, cây quạt B treo chính giữa bức tường và cách trần 1,5m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ bên dưới (đơn vị mét). Giả sử \(\overrightarrow {AB} = \left( {a;b;c} \right)\). Tính a + b + c.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;2;3} \right),\overrightarrow b = \left( {2;2; - 1} \right),\overrightarrow c = \left( {4;0; - 4} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow d = \overrightarrow a - \overrightarrow b + 2\overrightarrow c \) là

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có các đỉnh A(1; −2; 0), B(2; 1; −2), C(0; 3; 4). Khi đó:

(a) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là (1; 3; −2).

(b) Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là \(G\left( {1;\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

(c) Tọa độ hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng Oxy là H(0; 0; −2).

(d)\(\overrightarrow x = 2\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {BC} \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow x = \left( { - 4;12;14} \right)\).