Cho hình thang cân \(ABCD\;\left( {AB\,{\rm{//}}\,CD,\;AB < CD} \right).\) Hai đường chéo cắt nhau tại \(P.\) Gọi \(Q\) là giao điểm của hai tia \(DA\) và \(CB.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(PQ\) và \(AB.\) Tính số đo góc \(QIB.\)  (Đơn vị: Độ).

Đáp án: \(150\)

Kẻ \(Bk\) là tia đối của tia \(BC.\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\widehat C = \widehat {{B_2}}\) (hai góc đồng vị).

Ta có: \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat C + \widehat {{B_1}} = 180^\circ .\) Suy ra: \(\widehat {{B_1}} = 180^\circ - \widehat C.\)

Theo giả thiết: \(\widehat {{B_1}} - \widehat C = 60^\circ \) nên \(180^\circ - \widehat C - \widehat C = 60^\circ .\) Suy ra: \(\widehat C = 60^\circ .\) Do đó, \(\widehat {{B_1}} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ .\)

Lại có: \(\widehat C - \widehat D = 30^\circ \) nên \(\widehat D = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ .\)

Ta có: \[\widehat A + \widehat {{B_1}} + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \] (tổng các góc trong một tứ giác)

Suy ra: \[\widehat A = 360^\circ - \widehat {{B_1}} - \widehat C - \widehat D = 360^\circ - 120^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 150^\circ .\]

Vậy \[\widehat A = 150^\circ .\]

Đáp án: \(60\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\widehat A = \widehat B,\;\widehat C = \widehat D.\)

Lại có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \] (tổng các góc trong một tứ giác)

\(\widehat A + \widehat A + \widehat C + \widehat C = 360^\circ \)

\(2\left( {\widehat A + \widehat C} \right) = 360^\circ \)

\(\widehat A + \widehat C = 180^\circ .\)

Mà \(\widehat A = 2\widehat C\) nên \(\widehat C + 2\widehat C = 180^\circ .\) Vậy \(\widehat C = 60^\circ .\)