Thể tích nước của một bể bơi sau \[t\] phút bơm được tính theo công thức \(V\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {30{t^3} - \frac{{{t^4}}}{4}} \right)\)(\({{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)) \(\left( {0 \le t \le 90} \right)\). Tốc độ bơm nước tại thời điểm \[t\] được tính bởi \(v\left( t \right) = V'\left( t \right)\).

a) Thể tích nước sau \(10\) phút là 80 (\({{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)).

b) Tốc độ bơm nước tại thời điểm \[t = 20\] phút là 280 (\[{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]/phút).

c) Sau \(60\) phút, tốc độ bơm nước giảm.

d) Tốc độ bơm nước cao nhất là \(1000\) (\[{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]/phút).

a) Thể tích nước sau \(10\) phút là \(V\left( {10} \right) = \frac{1}{{100}}\left( {{{30.10}^3} - \frac{{{{10}^4}}}{4}} \right)\)\( = 275\)(\({{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)).

b) Tốc độ bơm nước tại thời điểm \[t\] được tính bởi \(v\left( t \right) = V'\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {90{t^2} - {t^3}} \right)\)

Tốc độ bơm nước tại thời điểm \[t = 20\] phút là \(v\left( {20} \right) = \frac{1}{{100}}\left( {{{90.20}^2} - {{20}^3}} \right) = 280\)(\[{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]/phút).

c) Xét hàm số \(v\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {90{t^2} - {t^3}} \right)\) là hàm số biểu thị tốc độ bơm nước tại thời điểm \(t\).

Ta có: \(v'\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {180t - 3{t^2}} \right)\)

\(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{t^2} + 180t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 60\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Vậy sau \(60\) phút, tốc độ bơm nước giảm.

d) Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(v\left( t \right)\)ta thấy tốc độ bơm nước cao nhất là \(1080\) (\[{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]/phút).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng; c) Đúng;   c) Sai.