Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số\(f(t) = \frac{{5000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t \ge 0,\)trong đó thời gian \(t\) được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm \(f'(t)\) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

a) Thể tích nước sau \(10\) phút là \(V\left( {10} \right) = \frac{1}{{100}}\left( {{{30.10}^3} - \frac{{{{10}^4}}}{4}} \right)\)\( = 275\)(\({{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)).

b) Tốc độ bơm nước tại thời điểm \[t\] được tính bởi \(v\left( t \right) = V'\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {90{t^2} - {t^3}} \right)\)

Tốc độ bơm nước tại thời điểm \[t = 20\] phút là \(v\left( {20} \right) = \frac{1}{{100}}\left( {{{90.20}^2} - {{20}^3}} \right) = 280\)(\[{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]/phút).

c) Xét hàm số \(v\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {90{t^2} - {t^3}} \right)\) là hàm số biểu thị tốc độ bơm nước tại thời điểm \(t\).

Ta có: \(v'\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {180t - 3{t^2}} \right)\)

\(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{t^2} + 180t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 60\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Vậy sau \(60\) phút, tốc độ bơm nước giảm.

d) Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(v\left( t \right)\)ta thấy tốc độ bơm nước cao nhất là \(1080\) (\[{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]/phút).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng; c) Đúng;   c) Sai.

Gọi \(x\) là số hành khách trên mỗi chuyến xe để số tiền thu được là lớn nhất \(\left( {0 < x \le 60} \right)\).

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm lợi nhuận thu được (\(F\left( x \right)\): đồng)

Số tiền thu được: \(F\left( x \right) = {\left( {300 - \frac{{5x}}{2}} \right)^2}.x = 90000x - 1500{x^2} + \frac{{25}}{4}{x^3}\)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

\(F'\left( x \right) = 90000 - 3000x + \frac{{75}}{4}{x^2};\,F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 90000 - 3000x + \frac{{75}}{4}{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 120({\rm{ktm)}}\\x = 40(tm)\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên

Vậy để thu được số tiền lớn nhất thì trên mỗi chuyến xe khách đó phải chở 40 người. Chọn B.