Tại một cảng biển, mực nước biển được cho bởi công thức \(h = 15 + 3\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\) với chiều cao của mực nước h (m) theo thời gian t (giờ) \(\left( {0 \le t < 24} \right)\). Vào lúc mấy giờ chiều cao của mực nước biển là 12 m.

a) Ta có \(2\cos x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

b) Vì \(x \in \left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) nên \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{13\pi }}{6}} \right\}\). Suy ra phương trình có 3 nghiệm.

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) là

\(\frac{\pi }{6} + \frac{{11\pi }}{6} + \frac{{13\pi }}{6} = \frac{{25\pi }}{6}\).

d) Trong đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \(\frac{{13\pi }}{6}\).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

\(\sin \left( {3x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x - \frac{{3\pi }}{4} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{{13\pi }}{{12}} + k2\pi \\3x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{13\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{17\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

TH1: \(x = \frac{{13\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\)

Với \(x > 0\) thì \(k > \frac{{ - 13}}{{24}},k \in \mathbb{Z}\). Suy ra k_min = 0. Do đó \(x = \frac{{13\pi }}{{36}}\).

Với \(x < 0\)thì \(k < \frac{{ - 13}}{{24}},k \in \mathbb{Z}\). Suy ra k_max = −1. Do đó \(x = \frac{{ - 11\pi }}{{36}}\).

TH2: \(x = \frac{{17\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\)

Với \(x > 0\) thì \(k > \frac{{ - 17}}{{24}},k \in \mathbb{Z}\). Suy ra k_min = 0. Do đó \(x = \frac{{17\pi }}{{36}}\).

Với \(x < 0\) thì \(k < \frac{{ - 17}}{{24}},k \in \mathbb{Z}\). Suy ra k_max = −1. Do đó \(x = - \frac{{7\pi }}{{36}}\).

So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là \(x = - \frac{{7\pi }}{{36}}\) và nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \frac{{13\pi }}{{36}}.\)

Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là: \( - \frac{{7\pi }}{{36}} + \frac{{13\pi }}{{36}} = \frac{\pi }{6}\). Chọn C.