Cho hình thang cân \(ABCD\;\left( {AB\;{\rm{//}}\;CD} \right)\) có \(AB = 6\;{\rm{cm;}}\;CD = 12\;{\rm{cm}}.\) Kẻ \(AM \bot DC\) tại \(M\) và \(BN \bot DC\) tại \(N.\) Độ dài đoạn thẳng \(DN\) bằng bao nhiêu \({\rm{cm}}?\)

Đáp án: \(9\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC,\;\widehat {ADC} = \widehat {BCD}.\)

Vì \(AM \bot DC\) tại \(M\) nên \(\widehat {AMD} = \widehat {AMN} = 90^\circ .\) Vì \(BN \bot DC\) tại \(N\) nên \(\widehat {BNC} = \widehat {BNM} = 90^\circ .\)

Tam giác \(AMD\) và tam giác \(BNC\) có: \(\widehat {AMD} = \widehat {BNC} = 90^\circ ,\;AD = BC,\;\widehat {ADC} = \widehat {BCD}.\)

Do đó, \(\Delta AMD = \Delta BNC\;\left( {ch - gn} \right).\) Do đó, \(AM = BN,\;DM = NC.\)

Vì \(AM\,{\rm{//}}\,BN\) (cùng vuông góc với \(DC\))  nên \(\widehat {MAN} = \widehat {BNA}\) (hai góc so le trong).

Tam giác \(AMN\) và tam giác \(NBA\) có: \(AM = BN,\;\widehat {MAN} = \widehat {BNA}\;\left( {cmt} \right),\;AN\) chung.

Do đó, \(\Delta AMN = \Delta NBA\;\left( {c - g - c} \right).\) Do đó, \(AB = MN = 6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Ta có: \(DM + MN + NC = 2DM + MN = CD.\)

Do đó, \(2DM + 6 = 12\) nên \(DM = 3\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Suy ra: \(DN = DM + MN = 3 + 6 = 9\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \(DM = 9\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)