Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A.\) Trên cạnh \(BC\) lấy hai điểm \(D,\;E\) sao cho \(BD = DE = EC.\) Lấy các điểm \(F,\;G\) lần lượt thuộc cạnh \(AC,\;AB\) sao cho \(FE,\;GD\) cùng vuông góc với \(BC.\) Hỏi \(\widehat {DGE}\) có số đo bằng bao nhiêu độ?

Đáp án: \(45\)

Vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C = 45^\circ .\)

Vì \(GD \bot BC,\;FE \bot BC\) nên \(\widehat {GDB} = \widehat {FEC} = \widehat {FED} = 90^\circ .\)

Tam giác \(BDG\) có: \(\widehat B = 45^\circ ,\;\widehat {GDB} = 90^\circ \) nên tam giác \(BDG\) vuông cân tại \(D.\) Do đó, \(BD = DG.\)

Tam giác \(FEC\) có: \(\widehat C = 45^\circ ,\;\widehat {FEC} = 90^\circ \) nên tam giác \(FEC\) vuông cân tại \(E.\) Do đó, \(FE = EC.\)

Vì \(BD = DG,\;FE = EC,\;BD = DE = EC\) nên \(DG = DE = FE.\)

Tứ giác \(GFED\) có: \(DG = FE,\;DG{\rm{//}}FE\) (cùng vuông góc với \(BC\)) nên tứ giác \(GFED\) là hình bình hành.

Lại có: \(\widehat {FED} = 90^\circ \) nên tứ giác \(GFED\) là hình chữ nhật.

Mà \(DG = DE\) nên tứ giác \(GFED\) là hình vuông.

Suy ra: \(\widehat {DGF} = 90^\circ \) và \(GE\) là tia phân giác của \(\widehat {DGF}.\) Do đó, \(\widehat {DGE} = \frac{1}{2}\widehat {DGF} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ  = 45^\circ .\)

Vậy \(\widehat {DGE} = 45^\circ .\)