Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A.\) Trên cạnh \(BC\) lấy hai điểm \(D,\;E\) sao cho \(BD = DE = EC.\) Lấy các điểm \(F,\;G\) lần lượt thuộc cạnh \(AC,\;AB\) sao cho \(FE,\;GD\) cùng vuông góc với \(BC.\) Hỏi \(\widehat {DGE}\) có số đo bằng bao nhiêu độ?

a) Đúng.

Vì \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) của tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC,\) mà \(BM = MC = \frac{1}{2}BC\) nên \(AM = BM = MC.\)

b) Đúng.

Vì \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \(AB\) nên \(MH \bot AB\) tại \(H.\)

Vì \(AM = BM\) nên tam giác \(ABM\) cân tại \(M.\) Do đó, \(HM\) vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác \(ABM\) nên \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

c) Sai.

Vì \(D\) đối xứng với \(M\) qua \(H\) nên \(H\) là là trung điểm của \(DM.\)

Tứ giác \(AMBD\) có: Hai đường chéo \(AB\) và \(DM\) cắt nhau tại \(H.\) Mà \(H\) vừa là trung điểm của \(AB\) vừa là trung điểm của \(DM\) nên tứ giác \(AMBD\) là hình bình hành.

Mà \(MD \bot AB\) tại \(H\) nên hình bình hành \(AMBD\) là hình thoi.

Do đó, \(AB\) là tia phân giác của \(\widehat {DAM}.\) Suy ra \(\widehat {DAB} = \widehat {BAM}.\)

d) Đúng.

Để hình thoi \(AMBD\) là hình vuông thì \(\widehat {DBM} = 90^\circ .\)

Mà \(BA\) là tia phân giác của \(\widehat {DBM}\) nên \(\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {DBM} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ  = 45^\circ .\)

Theo giả thiết, tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A.\)

Vậy để tứ giác \(AMBD\) là hình vuông thì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A.\)