Bác An có một khu vườn, bác chia khu vườn thành hai phần như hình vẽ:

Phần màu nâu dùng để trồng rau có diện tích là \(30\;{{\rm{m}}^2}.\) Phần màu xanh dùng để trồng cây ăn quả.

Biết rằng \(AD = 4\;{\rm{m}},\;BC = 10\;{\rm{m}}.\) Hỏi độ dài \(AB\) bằng bao nhiêu mét?

a) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AC = BD.\)

b) Sai.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {DAB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DAO} + \widehat {OAB} = 90^\circ .\)

Theo đề bài: \(\widehat {DAO} = 2\widehat {OAB}\) nên \(\widehat {OAB} + 2\widehat {OAB} = 90^\circ .\) Suy ra \(3\widehat {OAB} = 90^\circ ,\) nên \(\widehat {OAB} = 30^\circ .\)

c) Sai.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(OC = OD.\) Do đó, tam giác \(COD\) cân tại \(O.\)

Do đó, \(OH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta COD.\) Suy ra \(HC = \frac{1}{2}DC.\)

d) Đúng.

Vì \(\widehat {OAB} = 30^\circ \) nên \(\widehat {DAO} = 2\widehat {OAB} = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ .\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(OA = OD.\) Do đó, tam giác \(AOD\) cân tại \(O.\)

Mà \(\widehat {OAD} = 60^\circ \) nên tam giác \(AOD\) là tam giác đều.

a) Đúng.

Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(OA = OB = OC = OD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD.\)

Do đó, tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) và tam giác \(COB\) cân tại \(O.\)

Tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) nên \(OM\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó. Do đó, \(\widehat {OMB} = 90^\circ .\)

Tam giác \(COB\) cân tại \(O\) nên \(ON\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó. Do đó, \(\widehat {ONB} = 90^\circ .\)

b) Đúng.

Tứ giác \(OMBN\) có: \(\widehat {MBN} = \widehat {OMB} = \widehat {ONB} = 90^\circ .\) Do đó, tứ giác \(OMBN\) là hình chữ nhật.

c) Sai.

Vì tứ giác \(OMBN\) là hình chữ nhật nên \(MN = OB.\) Mà \(OB = \frac{1}{2}AC\) nên \(MN = \frac{1}{2}AC.\)

d) Đúng.

Gọi \(K\) là giao điểm của \(OB\) và \(MN.\) Vì tứ giác \(OMBN\) là hình chữ nhật nên \(KM = KB.\)

Do đó, tam giác \(KMB\) cân tại \(K.\) Do đó, \(\widehat {KMB} = \widehat {KBM}.\)

Vì tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}.\) Do đó, \(\widehat {OAB} = \widehat {KMB}.\)