Cho hình bình hành \(ABCD\), đường chéo \(BD.\) Kẻ \(AH\) và \(CK\) vuông góc với \(BD\) lần lượt tại \(H\) và \(K.\) Gọi \(M\) là giao điểm của \(AK\) và \(BC\), gọi \(N\) là giao điểm của \(CH\) và \(AD\) và \(O\) là trung điểm của \(BD\).

          a) \(\Delta ADH = \Delta CKB\).

          b) \(AK\parallel CH.\)

          c) \(AM = CN.\)

          d) \(M,O,N\) thẳng hàng.

Đáp án: 24

Vì tam giác vuông \(AHD\) có \(\widehat {ADH} = 45^\circ \) nên \(\Delta AHD\) là tam giác vuông cân.

Do đó, \(HD = HA = 4{\rm{ cm}}\).

Ta có \(ABHK\) là hình bình hành \(\left( {AB\parallel HK} \right)\) có \(\widehat {AHK} = \widehat {HKB} = 90^\circ \), do đó \(ABHK\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(AH = BK = 4{\rm{ cm,}}\) \(AB = HK = 2{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Vì \(ABCD{\rm{ }}\left( {AB\parallel CD} \right)\) là hình thang cân nên \(\widehat {ADH} = \widehat {BCK} = 45^\circ \).

Do đó, \(\Delta BKC\) cũng là tam giác vuông cân nên \(KB = KC = 4{\rm{ cm}}\).

Ta có: \(DC = DH + HK + KC = 4 + 2 + 4 = 10{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy diện tích hình thang cân \(ABCD\) là: \(\frac{{\left( {AB + DC} \right) \cdot AH}}{2} = \frac{{\left( {2 + 10} \right) \cdot 4}}{2} = 24{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

a) Đúng.

Ta có: \(AB = AD\) (vì \(ABCD\) là hình thoi) và \(\widehat A = 60^\circ \).

Suy ra \(\Delta ABD\) là tam giác đều.

Mà \(BH\) là đường cao trong \(\Delta ABD\) nên đồng thời là đường trung tuyến do đó \(H\) là trung điểm của \(AD\).

b) Đúng.

Xét tứ giác \(ABDE\) có hai đường chéo \(BE\) và \(AD\) cắt nhau tại trung điểm \(H\) của mỗi đường.

Do đó, \(ABDE\) là hình bình hành.

Mặt khác \(AD \bot BE\) nên \(ABDE\) là hình thoi.

c) Đúng.

Ta có:

\(ABCD\) là hình thoi suy ra \(DC = AB,DC\parallel AB\). (1)

\(ABDE\) là hình thoi suy ra \(DE = AB,DE\parallel AB\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(C,D,E\) thẳng hàng (tiền đề Euclid) và \(DC = DE.\)

Vậy \(D\) là trung điểm của \(CE\).

d) Sai.

Kẻ hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(I\).

Suy ra \(AC\) vuông góc \(BD\) tại trung điểm \(I\) của mỗi đường (Do \(ABCD\) là hình thoi).

Ta có: \(AC = 2AI\) (vì \(I\) là trung điểm của \(AC\)).

           \(BE = 2BH\) (vì \(H\) là trung điểm của \(BE\)).

Mà \(BH = AI\) (Chứng minh \(\Delta BHA = \Delta AIB\) (ch – gn)) suy ra \(AC = BE.\)