Cho tam giác ABC biết \(AB = 8;AC = 5;\widehat A = 60^\circ \).

a) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} + 2AB.AC.\cos A\).

b) Diện tích tam giác ABC bằng \(10\sqrt 3 \).

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng \(4\sqrt 3 \).

d) Điểm M thuộc cạnh BC sao cho \(BM = 4\). Khi đó \(AM = \frac{{4\sqrt {91} }}{7}\).

Gọi \(x;y\)(chiếc) là số lượng bánh nướng, bánh dẻo mà xí nghiệp cần sản xuất (\(x,y \in \mathbb{N}\)).

Khối lượng bột mỳ cần dùng là \(0,12x + 0,16y\) (kg).

Khối lượng đường cần dùng là \(0,06x + 0,04y\) (kg).

Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\y \le 3x\\3x + 4y \le 15000\\3x + 2y \le 12000\end{array} \right.\).

Số tiền lãi thu được là \(T = 8x + 6y\) (nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của \(T = 8x + 6y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\y \le 3x\\3x + 4y \le 15000\\3x + 2y \le 12000\end{array} \right.\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC kể cả cạnh (phần không gạch) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {4000;0} \right),B\left( {3000;1500} \right),C\left( {1000;3000} \right)\).

Với \(O\left( {0;0} \right)\) thì \(T = 0\).

Với \(A\left( {4000;0} \right)\) thì \(T = 32000\).

Với \(B\left( {3000;1500} \right)\) thì \(T = 33000\).

Với \(O\left( {1000;3000} \right)\) thì \(T = 26000\).

Do đó để đạt được tiền lãi cao nhất thì xí nghiệp nên sản xuất 3000 chiếc bánh nướng và 1500 chiếc bánh dẻo.

Ta có MC = 3, NC = 1 \( \Rightarrow MN = \sqrt {10} \).

Ta có BM = 3; AB = 4 \( \Rightarrow AM = 5\).

AD = 6; ND = 3 \( \Rightarrow AN = 3\sqrt 5 \).

Ta có \(p = \frac{{AM + AN + MN}}{2} = \frac{{\sqrt {10} + 5 + 3\sqrt 5 }}{2}\).

Khi đó \({S_{AMN}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - AN} \right)\left( {p - MN} \right)} = \frac{{15}}{2}\).

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác AMN là \(R = \frac{{AM.AN.MN}}{{4{S_{AMN}}}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).