PHẦN 3: CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Gọi $M$, $N$ lần lượt là các điểm trên đoạn $AC$và $C'D$ sao cho, $DN = \frac{1}{3}DC'$, $AM = \frac{2}{3}AC$. Khi phân tích $\overrightarrow {BN} = x.\overrightarrow {BA} + y.\overrightarrow {BC} + z.\overrightarrow {BB'} $ thì giá trị $x + y + z$ bằng

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Vectơ trong không gian (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Gọi $M$, $N$ lần lượt là các điểm trên đoạn $AC$và $C'D$ sao cho, $DN = \frac{1}{3}DC'$, \(AM = \frac{2}{3}A (ảnh 1)$

Ta có: $DN = \frac{1}{3}DC' \Leftrightarrow NC' = 2ND \Rightarrow \overrightarrow {NC'} = - 2\overrightarrow {ND} $.

Suy ra điểm N chia đoạn thẳng \[{\rm{D}}C'\] theo tỉ số $k = - 2$. Do đó $\overrightarrow {BN} = \frac{{\overrightarrow {BC'} + 2\overrightarrow {BD} }}{3}$

hay $\overrightarrow {BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC'} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BD} \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BB'} $.

Vậy $x + y + z = 2$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ diện đều $S.ABC$ cạnh $a$,$M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính $\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SB} } \right)$ (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tứ diện đều $S.ABC$ cạnh $a$,$M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính $\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SB} } \right)$ (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). (ảnh 1)$

Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{A M} . \vec{S B} = (\vec{S M} - \vec{S A}) . \vec{S B} = \vec{S M} . \vec{S B} - \vec{S A} . \vec{S B} = S M . S B . \cos \hat{B S M} - S A . S B . \cos \hat{A S B} \\ = \frac{a \sqrt{3}}{2} . a . \cos 30^{°} - a . a . \cos 60^{°} \\ = \frac{a^{2}}{4} \end{array}$

Suy ra: $\cos (\vec{A M}, \vec{S B}) = \frac{\vec{A M} . \vec{S B}}{A M . S B} = \frac{\frac{a^{2}}{4}}{\frac{a \sqrt{3}}{2} . a} = \frac{\sqrt{3}}{6} \approx 0, 29$

Câu 2

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $SA = 4,AB = 1,AD = 2$ và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {SC} $ và $\overrightarrow {DM} $.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $SA = 4,AB = 1,AD = 2$ và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {SC} $ và $\overrightarrow {DM} $. (ảnh 1)$

Do $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SA \bot AB,SA \bot AD$. Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB \bot AD$.

Do đó, đặt $\overrightarrow {AS} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow c $ thì $\left| {\overrightarrow a } \right| = 4,\left| {\overrightarrow b } \right| = 1,\left| {\overrightarrow c } \right| = 2$ và $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow c .\overrightarrow a = 0$

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {DM} }}{{\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {DM} } \right|}}$.

Do $\overrightarrow {SC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AS} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \overrightarrow {AS} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c $ và $\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow b - \overrightarrow c $ nên:

\[\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {DM} = \left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow b - \overrightarrow c } \right) = - \frac{1}{2}\overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c + \frac{1}{2}{\overrightarrow b ^2} - \overrightarrow b .\overrightarrow c + \frac{1}{2}.\overrightarrow c .\overrightarrow b - {\overrightarrow c ^2} = \frac{1}{2}{\overrightarrow b ^2} - {\overrightarrow c ^2} = \frac{1}{2}{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow c } \right|^2}\]

\[ = \frac{1}{2}{.1^2} - {2^2} = - \frac{7}{2}\];

${\left| {\overrightarrow {SC} } \right|^2} = {\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\overrightarrow c ^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b - 2\overrightarrow a \overrightarrow c + 2\overrightarrow b \overrightarrow c = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} = {4^2} + {1^2} + {2^2} + = 21$

${\left| {\overrightarrow {DM} } \right|^2} = {\overrightarrow {DM} ^2} = {\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow b - \overrightarrow c } \right)^2} = \frac{1}{4}{\overrightarrow b ^2} - \overrightarrow b \overrightarrow c + {\overrightarrow c ^2} = \frac{1}{4}{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} = \frac{1}{4}.1 + {2^2} = \frac{{17}}{4}$.

Suy ra:

$\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{ - \frac{7}{2}}}{{\sqrt {21} .\sqrt {\frac{{17}}{4}} }} = - \frac{{\sqrt {357} }}{{51}} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {DM} } \right) \approx 111,75^\circ $.

Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {SC} $ và $\overrightarrow {DM} $ là khoảng $111,75^\circ $.

Câu 3