Cho tứ diện \[ABCD\]. Các điểm \(M,\;N,\;I\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(CD\), \(MN\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a)  \[\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MN} \].

b)  \[\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {MN} \].

c)  \[\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = 3\overrightarrow {IG} \].

d)  \(2\overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow 0 \).

a)  Sai: \[\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 2\overrightarrow {MN} \].

Vì \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên \[\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 2\overrightarrow {MN} \].

b)  Đúng: \[\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {MN} \].

 Ta có : \[\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MC}  = (\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MC} ) + (\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM} ) = 2\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow 0  = 2\overrightarrow {MN} \].

c)  Đúng: \[\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = 3\overrightarrow {IG} \].

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) nên \[\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = 3\overrightarrow {IG} \].

d)  Sai: \(2\overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {IA}  =  - \overrightarrow {IG}  \ne \overrightarrow 0 \).

Vì \(I\) là trung điểm của \(MN\) nên

\(2\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} ) = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} ) = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} \).

Suy ra \(\overrightarrow {AI}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AG} \). Suy ra\(\overrightarrow {IG}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AG}  \Rightarrow \overrightarrow {IA}  =  - 3\overrightarrow {IG}  \Rightarrow 2\overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {IA}  =  - \overrightarrow {IG}  \ne \overrightarrow 0 \).