Cho hình chóp \[O.ABC\] có ba cạnh \[OA\], \[OB\], \[OC\] đôi một vuông góc và \[OA = OB = OC = a\]. Gọi \[M\] là trung điểm cạnh \[AB\]. Tính góc tạo bởi hai vectơ \[\overrightarrow {AC} \] và \[\overrightarrow {OM} \] ?

Môt chiếc khinh khí cầu bay lên từ địa điểm cho trước. Sau khoảng thời gian bay, chiếc khinh khí cầu cách địa điểm xuất phát \(2,5km\) về hướng nam và \(1,7km\) về hướng đông, đồng thời cách mặt đất là \(0,6km\). Chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát của chiếc khinh khí cầu, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất, trục \(Ox\) hướng về nam, trục \(Oy\) hướng về phía đông và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilomet.

Tính khoảng cách từ địa điểm xuất phát đến địa điểm hiện tại của khinh khí cầu (đơn vị lấy theo kilomet và làm tròn đến \(2\) chữ số sau phần thập phân)

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm \[O\] trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm \[A,B,C\] trên đèn tròn sao cho tam giác \[ABC\] đều. Độ dài của ba đoạn dây \[OA,OB,OC\] đều bằng \[L\]. Trọng lượng của chiếc đèn là \[27N\] và bán kính của chiếc đèn là \(0,5m\).

Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là \(12N\). (Chiều dài tính theo đơn vị cm và làm tròn đến 1 số sau phần thập phân)

Cho tứ diện \[ABCD\]. Các điểm \(M,\;N,\;I\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(CD\), \(MN\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a)  \[\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MN} \].

b)  \[\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {MN} \].

c)  \[\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = 3\overrightarrow {IG} \].

d)  \(2\overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow 0 \).

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(B'C'D'\), \(I\) là trung điểm của \(AB'\) .

a) \(\overrightarrow {A'D}  = \overrightarrow {AA'}  - \overrightarrow {AD} \).

b) \(\overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GA}  = \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GA'} \).

c) \[6\overrightarrow {IG}  = 3\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + 4\overrightarrow {AD} \;.\]

d) \[cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right) = \frac{{\sqrt {13} }}{{26}}.\].