Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). \(E\) là điểm trên đoạn \(CD\) sao cho \(ED = 2CE\). Các mệnh đề sau đúng hay sai  ?

a)    Có \[6\] vectơ (khác vectơ \[\overrightarrow 0 \]) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện.

b)    Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {AB\,} \] và \[\overrightarrow {BC\,} \] bằng \[60^\circ \].

c)    Nếu \[\overrightarrow {BE\,} = m\overrightarrow {BA\,} + n\overrightarrow {BC\,} + p\overrightarrow {BD\,} \] thì \[m + n + p = \frac{2}{3}\].

d)    Tích vô hướng \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BE} = \frac{{{a^2}}}{6}\).

Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\]. Đặt \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow d \]. Trong các biểu thức vec tơ sau đây, biểu thức nào là đúng?

Cho hình lập phương \[B'C\] có đường chéo \[A'C = \frac{3}{{16}}\]. Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\) và điểm \[20\] thỏa mãn: \[\overrightarrow {OS}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OA'}  + \overrightarrow {OB'}  + \overrightarrow {OC'}  + \overrightarrow {OD'} \]. Khi đó độ dài của đoạn \[OS\] bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{N}\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2}\).

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật. Biết rằng: cạnh \[AB = a\], \[AD = 2a\], cạnh bên \[SA = 2a\] và vuông góc với mặt đáy. Gọi \[M\], \[N\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[SB\], \[SD\]. Các mệnh đề sau đúng hay sai  ?

a)             Hai vectơ \[\overrightarrow {AB\,} \], \[\overrightarrow {CD\,} \] là hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

b)            Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {SC\,} \] và \[\overrightarrow {AC\,} \] bằng \[60^\circ \].

c)             Tích vô hướng \[\overrightarrow {AM\,}  \cdot \,\overrightarrow {AB\,}  = \frac{{{a^2}}}{2}\].

d)            Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {AM\,}  - \overrightarrow {AN\,} \] là \[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

a)     Hai vectơ \[\overrightarrow {AH\,} \], \[\overrightarrow {KA'\,} \] là hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

b)     Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {A'H\,} \] và \[\overrightarrow {AH\,} \] bằng \[60^\circ \].

c)      Tích vô hướng \[\overrightarrow {AK\,} \cdot \,\overrightarrow {AB'\,} = \frac{{5{a^2}}}{2}\].

d)     Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {AK\,} + \overrightarrow {AH\,} \] là \[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] có cạnh bằng \[2\]. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} \).

Cho tứ diện \[ABCD\], gọi \[M\], \[N\] lần lượt là trung điểm của \[BC\] và \[AD\], biết \(AB = a\), \(CD = a\), \(MN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng \[AB\] và \[CD\].