PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho tứ diện \[ABCD\]. Trên các cạnh \[AD\] và \[BC\] lần lượt lấy \[M,N\]sao cho \(AM = 3MD\), \(BN = 3NC\). Gọi \[P,Q\] lần lượt là trung điểm của \[AD\] và \[BC\]. Phân tích vectơ \(\overrightarrow {MN} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) và \(\overrightarrow {DC} \) ta được \[\overrightarrow {MN} = a\overrightarrow {PQ} + b\overrightarrow {DC} \] . Tính \[a + 2b\].

Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\]. Đặt \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow d \]. Trong các biểu thức vec tơ sau đây, biểu thức nào là đúng?

Cho hình lập phương \[B'C\] có đường chéo \[A'C = \frac{3}{{16}}\]. Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\) và điểm \[20\] thỏa mãn: \[\overrightarrow {OS}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OA'}  + \overrightarrow {OB'}  + \overrightarrow {OC'}  + \overrightarrow {OD'} \]. Khi đó độ dài của đoạn \[OS\] bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{N}\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2}\).

Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] có cạnh bằng \[2\]. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} \).

a)     Hai vectơ \[\overrightarrow {AH\,} \], \[\overrightarrow {KA'\,} \] là hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

b)     Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {A'H\,} \] và \[\overrightarrow {AH\,} \] bằng \[60^\circ \].

c)      Tích vô hướng \[\overrightarrow {AK\,} \cdot \,\overrightarrow {AB'\,} = \frac{{5{a^2}}}{2}\].

d)     Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {AK\,} + \overrightarrow {AH\,} \] là \[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

Cho lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Tính độ dài của vectơ \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'D'} \].

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành. Một mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] cắt các cạnh \[SA,\,\,SB,\,\,SC,\,SD\] lần lượt tại \[A',B',C',D'\]. Giá trị của biểu thức \[P = \frac{{SA}}{{SA'}} + \frac{{SC}}{{SC'}} - \frac{{SB}}{{SB'}} - \frac{{SD}}{{SD'}}\] bằng bao nhiêu ?

Cho hình lập phương \[ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime \] có cạnh bằng \[a\]. Trên các cạnh \[AA\prime \], \[CC\prime \] lần lượt lấy các điểm \[M\], \[N\] sao cho \[AM = \frac{2}{3}AA\prime \], \[CN = NC\prime \]. Các mệnh đề sau đúng hay sai  ?

a)             Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {AN\,} \] và \[\overrightarrow {AC\,} \] bằng \[60^\circ \].

b)            Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {MN\,}  + \overrightarrow {AM\,} \] là \[\frac{{3a}}{2}\].

c)             Tích vô hướng \[\overrightarrow {AN\,}  \cdot \,\overrightarrow {AC\,}  = {a^2}\].

d)            Tích vô hướng \[\overrightarrow {MN\,}  \cdot \,\overrightarrow {A\prime C\prime \,}  = 2{a^2}\].