Trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm \(A\left( {0;\, - 2;\,1} \right);\,B\left( { - 2;\, - 2;\, - 1} \right);\,C\left( {3;\,1;\, - 2} \right)\).Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Hình chiếu của \[A\] lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là \(A'\left( {0;0;1} \right)\).

b) Tam giác \[ABC\] là tam giác vuông tại \(A\).

c) Tứ giác \[ABCD\] là hình bình hành thì tọa độ của \(D\left( {5;1;4} \right)\).

d) Trọng tâm của tam giác \[ABC\] là \(G\left( {\frac{1}{3};1;\frac{{ - 2}}{3}} \right)\).

a) Đúng.

Hình chiếu của \[A\] lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là \(A'\left( {0;0;1} \right)\).

b) Đúng

Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \left( {3;\,3;\, - 3} \right)\,\,\,;\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;\,0;\, - 2} \right)\).

Khi đó \[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = 3.\left( { - 2} \right) + 3.0 + \left( { - 3} \right)\,.\left( { - 2} \right) = 0\,\, \Rightarrow AC \bot AB\]

c) Sai.

Gỉa sử \(D\left( {x;y;z} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( {2;\,0;\,2} \right)\,\,\,;\,\,\,\,\overrightarrow {CD}  = \left( {x - 3;\,y - 1;\,z + 2} \right)\)

Để \(ABCD\) là hình bình hành thì  \(\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 2\\y - 1 = 0\\z + 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\\z = 0\end{array} \right.\)

Vậy \(D\left( {5;1;0} \right)\)

d) Sai.

Trọng tâm của tam giác \[ABC\] là \(G\left( {\frac{1}{3}; - 1;\frac{{ - 2}}{3}} \right)\).