Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {4;0;0} \right)\), \(D\left( {0;4;0} \right)\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\) và \(F\) là điểm nằm trên tia đối của tia \(AD\) sao cho \[AF = 1\].

a) Tọa độ của điểm \(C\)là \(C\left( {0;4;4} \right)\).

b) Tọa độ của điểm \(B'\) là \(B'\left( {4;0;4} \right)\).

c) Tọa độ của điểm \(E\) là \(\left( {2;2;0} \right)\).

d) Tọa độ của điểm \(F\) là \(\left( {0;1;0} \right)\).

Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[A\left( {1;2;3} \right)\] lên \[Oy\]. Suy ra \[H\left( {0;2;0} \right)\]

Khi đó \[H\] là trung điểm đoạn \[AA'\].

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} =  - 1\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 2\\{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} =  - 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A'\left( { - 1;2; - 3} \right)\).

Đáp số: \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \left( { - 3;0;0} \right) \Rightarrow OA = 3\); \(\overrightarrow {OB}  = \left( {0; - 4;0} \right) \Rightarrow OB = 4\); \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 4;0} \right) \Rightarrow AB = 5\).

\(\Delta OAB\) vuông tại \(O\), nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}.3.4 = 6\); \(p = \frac{{OA + OB + AB}}{2} = 6\)\( \Rightarrow r = \frac{{{S_{ABC}}}}{p} = 1\).

\( \Rightarrow I\left( { - 1; - 1;0} \right)\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta OAB\).

Do \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) nên \(J\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow J\left( { - \frac{3}{2}; - 2;0} \right)\).

\(\overrightarrow {IJ}  = \left( { - \frac{1}{2}; - 1;0} \right) \Rightarrow IJ = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).