Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3;1; - 3} \right)\) và \(B\left( {0; - 2;1} \right)\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng\(AB\) là

a) Đúng

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1;1} \right),\,\overrightarrow {DC}  = \left( {1 - x; - 2 - y;3 - z} \right)\)

\(ABCD\) là hình bình hành khi \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x =  - 2\\ - 2 - y =  - 1\\3 - z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 1\\z = 2\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {3; - 1;2} \right)\).

b) Đúng

Ta có: \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 \]

c) Sai

Gọi \(E\left( {0;m;0} \right) \in Oy\)

Tam giác \(BCE\) vuông tại \(E\) thì \(\overrightarrow {EB} .\overrightarrow {EC}  = 0.\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \[\overrightarrow {EB}  = \left( { - 1; - m;1} \right),\,\overrightarrow {EC}  = \left( {1; - m - 2;3} \right)\]

Khi đó \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 2 = 0\,\,\left( {VN} \right).\]

Vậy không có điểm \(E\) thỏa mãn.

d) Đúng

Điểm M thuộc đoạn thẳng AB và \[MA = 2MB\]

Nên \[\overrightarrow {MA}  =  - 2\overrightarrow {MB} \]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - {x_M} =  - 2\left( {{x_B} - {x_M}} \right)\\{y_A} - {y_M} =  - 2\left( {{y_B} - {y_M}} \right)\\{z_A} - {z_M} =  - 2\left( {{z_B} - {z_M}} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_M} =  - 2\left( { - 1 - {x_M}} \right)\\1 - {y_M} =  - 2\left( { - {y_M}} \right)\\ - {z_M} =  - 2\left( {1 - {z_M}} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_M} =  - 1\\3{y_M} = 1\\3{z_M} = 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{ - 1}}{3}\\{y_M} = \frac{1}{3}\\{z_M} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 1}}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{2}{3}} \right)\].

Độ dài đoạn thẳng \[OM = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\].

a) Tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\) là \(G\left( {x;y;z} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - 2 + 0}}{3} =  - \frac{1}{3}\\y = \frac{{ - 1 + 0 + 1}}{3} = 0\\z = \frac{{2 + 3 - 2}}{3} = 1\end{array} \right.\).

Nên \(G\left( {\frac{{ - 1}}{3};0;1} \right)\)

Khẳng định a.đúng.

b) \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;1;1} \right)\)\( \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt {11} \)

Khẳng định b. đúng.

c) \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;1;1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;2; - 4} \right)\).

Nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&{ - 4}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 3}\\{ - 4}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\{ - 1}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 6; - 13; - 5} \right)\).

Khẳng định c sai.

d) Vì \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow c = 0.\)

Ta có: \[\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - a; - 1 - b;2} \right)\]; \[\overrightarrow {MB}  = \left( { - 2 - a; - b;3} \right)\]; \[\overrightarrow {MC}  = \left( { - a;1 - b; - 2} \right)\].

\[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \left( {1 - a} \right).\left( { - 2 - a} \right) + \left( { - 1 - b} \right).\left( { - b} \right) + 2.3\]\[ = {a^2} + {b^2} + a + b + 4\]\[\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC}  = \left( { - 2 - a} \right).\left( { - a} \right) + \left( { - b} \right).\left( {1 - b} \right) + 3.\left( { - 2} \right)\]\[ = {a^2} + {b^2} + 2a - b - 6\]\[\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA}  = \left( { - a} \right).\left( {1 - a} \right) + \left( {1 - b} \right).\left( { - 1 - b} \right) + \left( { - 2} \right).2\]\[ = {a^2} + {b^2} - a - 5\]\[S = 2.\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \]

\[ = 4{a^2} + 4{b^2} + 3a + b - 3\] \[ = 4\left( {{a^2} + \frac{3}{4}a} \right) + 4\left( {{b^2} + \frac{1}{4}b} \right) - 3\]

\[ = 4{\left( {a + \frac{3}{8}} \right)^2} + 4{\left( {b + \frac{1}{8}} \right)^2} - \frac{{29}}{8} \ge  - \frac{{29}}{8}\].

\[ \Rightarrow {S_{\min }} =  - \frac{{29}}{8} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + \frac{3}{8} = 0\\b + \frac{1}{8} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{3}{8}\\b =  - \frac{1}{8}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow T = a - b + c =  - \frac{1}{4}\].

Khẳng định d sai.