Câu hỏi:

02/10/2025 18 Lưu

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(CC' = a\sqrt 2 \). Góc giữa hai đường thẳng \(BA'\)\(AC'\) là bao nhiêu?

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Đáp án: \(\left( {BA',AC'} \right) = {60^0}\)

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(CC' = a\sqrt 2 \). Góc giữa hai đường thẳng \(BA'\) và \(AC'\) là bao nhiêu?  (ảnh 1)

              Gọi \(H\)là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow BC \bot AH\).

              Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ với \(H\left( {0;0;0} \right)\).

              Khi đó: \(A\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\), \(A'\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0;a\sqrt 2 } \right)\), \(B\left( {0; - \frac{a}{2};0} \right)\), \(C'\left( {0;\frac{a}{2};a\sqrt 2 } \right)\)

              \[ \Rightarrow \,\overrightarrow {AC'}  = \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2};a\sqrt 2 } \right)\], \[\overrightarrow {BA'}  = \left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2};a\sqrt 2 } \right)\]

              \(\cos \left( {BA',AC'} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {BA'} .\overrightarrow {AC'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BA'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}}\)

              \( = \frac{{\left| {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) + \frac{a}{2}.\frac{a}{2} + a\sqrt 2 .a\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }}\)\( = \frac{1}{2}\).

              \( \Rightarrow \left( {BA',AC'} \right) = {60^0}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Đúng

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1;1} \right),\,\overrightarrow {DC}  = \left( {1 - x; - 2 - y;3 - z} \right)\)

\(ABCD\) là hình bình hành khi \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x =  - 2\\ - 2 - y =  - 1\\3 - z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 1\\z = 2\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {3; - 1;2} \right)\).

b) Đúng

Ta có: \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 \]

c) Sai

Gọi \(E\left( {0;m;0} \right) \in Oy\)

Tam giác \(BCE\) vuông tại \(E\) thì \(\overrightarrow {EB} .\overrightarrow {EC}  = 0.\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \[\overrightarrow {EB}  = \left( { - 1; - m;1} \right),\,\overrightarrow {EC}  = \left( {1; - m - 2;3} \right)\]

Khi đó \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 2 = 0\,\,\left( {VN} \right).\]

Vậy không có điểm \(E\) thỏa mãn.

d) Đúng

Điểm M thuộc đoạn thẳng AB và \[MA = 2MB\]

Nên \[\overrightarrow {MA}  =  - 2\overrightarrow {MB} \]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - {x_M} =  - 2\left( {{x_B} - {x_M}} \right)\\{y_A} - {y_M} =  - 2\left( {{y_B} - {y_M}} \right)\\{z_A} - {z_M} =  - 2\left( {{z_B} - {z_M}} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_M} =  - 2\left( { - 1 - {x_M}} \right)\\1 - {y_M} =  - 2\left( { - {y_M}} \right)\\ - {z_M} =  - 2\left( {1 - {z_M}} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_M} =  - 1\\3{y_M} = 1\\3{z_M} = 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{ - 1}}{3}\\{y_M} = \frac{1}{3}\\{z_M} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 1}}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{2}{3}} \right)\].

Độ dài đoạn thẳng \[OM = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\].

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ (\(O\) là trung điểm của \(BC\)). Ta có: \(A'\left( {0;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right),\) \(B\left( {150;\,0;\,0} \right),\) \(C\left( { - 150;\,0;\,0} \right),\) \(C'\left( { - 150;\,0;\,300} \right),\)\(\overrightarrow {CA'}  = \left( {150;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right)\), \(\overrightarrow {BC'}  = \left( { - 300;\,0;\,300} \right)\)

          Gọi \(m,n\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CM}  = m\overrightarrow {CA'} \\\overrightarrow {BN}  = n\overrightarrow {BC'} \end{array} \right.\)  ta có \(M\left( { - 150 + 150m;\, - 150\sqrt 3 m;\,300m} \right)\), \(N\left( {150 - 300n;\,0;\,300n} \right)\)

           \( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 150m - 300n + 300;\,150\sqrt 3 m;\,300n - 300m} \right)\).

           Đường thẳng \(MN\) là đường vuông góc chung của \(A'C\) và \(BC'\)nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CA'}  = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC'}  = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m + n =  - 1\\ - m + 4n = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{2}{5}\\n = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {60;\,60\sqrt 3 ;\,60} \right) \Rightarrow MN = 60\sqrt 5 \)

Số tiền xây cầu là: \(T = 60\sqrt 5 .5 \approx 671\)tỷ đồng.

Câu 5

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(A\left( {1; - 1;2} \right)\), \(B\left( { - 2;0;3} \right)\), \(C\left( {0;1; - 2} \right)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\) là \(G\left( {\frac{{ - 1}}{3};0;1} \right)\).

b) Độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {11} \).

c) Tích có hướng \([\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ] = \left( { - 6;13; - 5} \right)\).

d) \(M\left( {a;b;c} \right)\)là điểm thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] sao cho biểu thức \[S = 2.\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \] đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó biểu thức \[T = a - b + c = \frac{1}{4}\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \[A\left( {1;2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right),C\left( {2;1;0} \right)\].

a) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\)

b) Chu vi tam giác là \(\sqrt 7  + \sqrt 3  + \sqrt 2 .\)

c) Diện tích tam giác \(ABC\)là \(\sqrt 6 .\)

d) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)là \(I\left( {1;1;\frac{1}{2}} \right).\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP