Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 300 mét (tham khảo hình vẽ) . Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu \(MN\) bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh\(A'C\), điểm cuối thuộc cạnh \(BC'\)) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho \(MN\) ngắn nhất (Gợi ý: đoạn thẳng nối hai đường ngắn nhất chính là đường vuông góc chung). Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tiền?

Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 300 mét (tham khảo hình vẽ) . Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu \(MN\) bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh\(A'C\), điểm cuối thuộc cạnh \(BC'\)) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho \(MN\) ngắn nhất (Gợi ý: đoạn thẳng nối hai đường ngắn nhất chính là đường vuông góc chung). Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tiền?
Quảng cáo
Trả lời:

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ (\(O\) là trung điểm của \(BC\)). Ta có: \(A'\left( {0;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right),\) \(B\left( {150;\,0;\,0} \right),\) \(C\left( { - 150;\,0;\,0} \right),\) \(C'\left( { - 150;\,0;\,300} \right),\)\(\overrightarrow {CA'} = \left( {150;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right)\), \(\overrightarrow {BC'} = \left( { - 300;\,0;\,300} \right)\)
Gọi \(m,n\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CM} = m\overrightarrow {CA'} \\\overrightarrow {BN} = n\overrightarrow {BC'} \end{array} \right.\) ta có \(M\left( { - 150 + 150m;\, - 150\sqrt 3 m;\,300m} \right)\), \(N\left( {150 - 300n;\,0;\,300n} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 150m - 300n + 300;\,150\sqrt 3 m;\,300n - 300m} \right)\).
Đường thẳng \(MN\) là đường vuông góc chung của \(A'C\) và \(BC'\)nên:
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CA'} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC'} = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m + n = - 1\\ - m + 4n = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{2}{5}\\n = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {60;\,60\sqrt 3 ;\,60} \right) \Rightarrow MN = 60\sqrt 5 \)
Số tiền xây cầu là: \(T = 60\sqrt 5 .5 \approx 671\)tỷ đồng.
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án: \(\left| {\overrightarrow F } \right| = 5\sqrt 2 \) .
Gọi tứ diện là \(S.ABC\) và \(M,\,G,\,G'\) lần lượt là trung điểm của \(BC\), trọng tâm của \(\Delta ABC\)và vị trí đặt đèn.
\(S.ABC\) là tứ diện đều \( \Rightarrow \Delta ABC\) đều nên \(G\)là tâm của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).
\( \Rightarrow S,\,G',\,G\) thẳng hàng và \(SG' = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ sao cho \(M\left( {0;0;0} \right)\)
Có: \(AM = 5\sqrt 3 \), \(MG = \frac{1}{3}AM = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\),
\(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\), \(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \frac{{10\sqrt 6 }}{3}\) .
Khi đó: \(S\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;\frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)\), \(A\left( {5\sqrt 3 ;0;0} \right)\), \(B\left( {0; - 5;0} \right)\), \(C\left( {0;5;0} \right)\)
\(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow G\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;0} \right)\)\(\)
\( \Rightarrow SG' = \frac{3}{4}SG\) \( \Rightarrow \overrightarrow {SG'} = \frac{3}{4}\overrightarrow {SG} \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} - {x_S} = \frac{3}{4}\left( {{x_G} - {x_S}} \right)\\{y_{G'}} - {y_S} = \frac{3}{4}\left( {{y_G} - {y_S}} \right)\\{z_{G'}} - {z_S} = \frac{3}{4}\left( {{z_G} - {z_S}} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\\{y_{G'}} = 0\\{x_{G'}} = \frac{{5\sqrt 6 }}{6}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow G'\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;\frac{{5\sqrt 6 }}{6}} \right)\).
\( \Rightarrow G'A = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AG'} ,\overrightarrow {SG'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SG'} .\overrightarrow {AG'} }}{{\left| {\overrightarrow {SG'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AG'} } \right|}} = - \frac{1}{3}\).
Gọi \(\overrightarrow F ,\,\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} \) lần lượt là lực tổng hợp và lực của hai dây tác dụng lên đèn
Có \(\overrightarrow F = \overrightarrow {F{}_1} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AG'} + \overrightarrow {SG'} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {AG'} + \overrightarrow {SG'} } \right)}^2}} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {SG{'^2} + AG{'^2} + 2\overrightarrow {AG'} .\overrightarrow {SG'} } \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {SG{'^2} + AG{'^2} + 2AG'.SG'.\cos \left( {\overrightarrow {AG'} ,\overrightarrow {SG'} } \right)} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + 2.\frac{{5\sqrt 6 }}{2}.\frac{{5\sqrt 6 }}{2}.\left( { - \frac{1}{3}} \right)} \) \( = 5\sqrt 2 \).
Lời giải
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
a) Đúng
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1;2} \right),\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 4;4} \right)\)
\( \Rightarrow \cos A = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{4}{9} > 0 \Rightarrow A\) là góc nhọn.
b) Đúng
\(D\) đối xứng với \(A\) qua \(B\) nên \(B\) là trung điểm của \(AD\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_D}}}{2}\\{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_D}}}{2}\\{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_D}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 2{x_B} - {x_A}\\{y_D} = 2{y_B} - {y_A}\\{z_D} = 2{z_B} - {z_A}\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 6;2;1} \right)\)
c) Sai
Ta có: \[AB = 3;AC = 6\]\[ \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DB} \]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - {x_D} = - 2\left( {{x_B} - {x_D}} \right)\\{y_C} - {y_D} = - 2\left( {{y_B} - {y_D}} \right)\\{z_C} - {z_D} = - 2\left( {{z_B} - {z_D}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 4; - \frac{2}{3}; - \frac{1}{3}} \right) \Rightarrow AD = \frac{{2\sqrt {26} }}{3}\].
d) Sai
Vì \(M \in \left( {Oyz} \right) \Rightarrow a = 0 \Rightarrow M\left( {0;b;c} \right)\)
Ta có: \(A,\,B\) nằm cùng phía đối với \(\left( {Oyz} \right)\).
Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(\left( {Oyz} \right) \Rightarrow A'\left( {2;0; - 3} \right)\)
Khi đó: \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\)
Do đó: \(MA + MB\) đạt GTNN khi \(A',M,B\) thẳng hàng.
\(\overrightarrow {A'B} = \left( { - 6;1;2} \right),\,\overrightarrow {A'M} = \left( { - 2;b;c + 3} \right)\)
\(A',\,B,\,M\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {A'B} ,\,\overrightarrow {A'M} \) cùng phương\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{ - 6}} = \frac{b}{1} = \frac{{c + 3}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{3}\\c = - \frac{7}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(M\left( {0;\frac{1}{3}; - \frac{7}{3}} \right) \Rightarrow a + b + c = - 2\).
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(A\left( {1; - 1;2} \right)\), \(B\left( { - 2;0;3} \right)\), \(C\left( {0;1; - 2} \right)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\) là \(G\left( {\frac{{ - 1}}{3};0;1} \right)\).
b) Độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {11} \).
c) Tích có hướng \([\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ] = \left( { - 6;13; - 5} \right)\).
d) \(M\left( {a;b;c} \right)\)là điểm thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] sao cho biểu thức \[S = 2.\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \] đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó biểu thức \[T = a - b + c = \frac{1}{4}\].
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(A\left( {1; - 1;2} \right)\), \(B\left( { - 2;0;3} \right)\), \(C\left( {0;1; - 2} \right)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\) là \(G\left( {\frac{{ - 1}}{3};0;1} \right)\).
b) Độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {11} \).
c) Tích có hướng \([\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ] = \left( { - 6;13; - 5} \right)\).
d) \(M\left( {a;b;c} \right)\)là điểm thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] sao cho biểu thức \[S = 2.\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \] đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó biểu thức \[T = a - b + c = \frac{1}{4}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.