Một đồ chơi có dạng hình tứ diện đều làm bằng thủy tinh có cạnh bằng \(10cm\). Bên trong đặt một đèn nhỏ. Đèn đặt trên đường nối từ đỉnh của tứ diện xuống tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và cách đỉnh một khoảng là \(\frac{{5\sqrt 6 }}{2}cm\). Đèn được nối bởi hai dây qua hai đỉnh của tứ diện như hình vẽ. Cường độ lực tổng hợp của hai dây tác dụng lên đèn là bao nhiêu?

a) Đúng

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1;1} \right),\,\overrightarrow {DC}  = \left( {1 - x; - 2 - y;3 - z} \right)\)

\(ABCD\) là hình bình hành khi \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x =  - 2\\ - 2 - y =  - 1\\3 - z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 1\\z = 2\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {3; - 1;2} \right)\).

b) Đúng

Ta có: \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 \]

c) Sai

Gọi \(E\left( {0;m;0} \right) \in Oy\)

Tam giác \(BCE\) vuông tại \(E\) thì \(\overrightarrow {EB} .\overrightarrow {EC}  = 0.\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \[\overrightarrow {EB}  = \left( { - 1; - m;1} \right),\,\overrightarrow {EC}  = \left( {1; - m - 2;3} \right)\]

Khi đó \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 2 = 0\,\,\left( {VN} \right).\]

Vậy không có điểm \(E\) thỏa mãn.

d) Đúng

Điểm M thuộc đoạn thẳng AB và \[MA = 2MB\]

Nên \[\overrightarrow {MA}  =  - 2\overrightarrow {MB} \]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - {x_M} =  - 2\left( {{x_B} - {x_M}} \right)\\{y_A} - {y_M} =  - 2\left( {{y_B} - {y_M}} \right)\\{z_A} - {z_M} =  - 2\left( {{z_B} - {z_M}} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_M} =  - 2\left( { - 1 - {x_M}} \right)\\1 - {y_M} =  - 2\left( { - {y_M}} \right)\\ - {z_M} =  - 2\left( {1 - {z_M}} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_M} =  - 1\\3{y_M} = 1\\3{z_M} = 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{ - 1}}{3}\\{y_M} = \frac{1}{3}\\{z_M} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 1}}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{2}{3}} \right)\].

Độ dài đoạn thẳng \[OM = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\].

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ (\(O\) là trung điểm của \(BC\)). Ta có: \(A'\left( {0;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right),\) \(B\left( {150;\,0;\,0} \right),\) \(C\left( { - 150;\,0;\,0} \right),\) \(C'\left( { - 150;\,0;\,300} \right),\)\(\overrightarrow {CA'}  = \left( {150;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right)\), \(\overrightarrow {BC'}  = \left( { - 300;\,0;\,300} \right)\)

          Gọi \(m,n\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CM}  = m\overrightarrow {CA'} \\\overrightarrow {BN}  = n\overrightarrow {BC'} \end{array} \right.\)  ta có \(M\left( { - 150 + 150m;\, - 150\sqrt 3 m;\,300m} \right)\), \(N\left( {150 - 300n;\,0;\,300n} \right)\)

           \( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 150m - 300n + 300;\,150\sqrt 3 m;\,300n - 300m} \right)\).

           Đường thẳng \(MN\) là đường vuông góc chung của \(A'C\) và \(BC'\)nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CA'}  = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC'}  = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m + n =  - 1\\ - m + 4n = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{2}{5}\\n = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {60;\,60\sqrt 3 ;\,60} \right) \Rightarrow MN = 60\sqrt 5 \)

Số tiền xây cầu là: \(T = 60\sqrt 5 .5 \approx 671\)tỷ đồng.