Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \[A\left( {1;1;0} \right),B\left( { - 1;0;1} \right),C\left( {1; - 2;3} \right)\].

a) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi \(D\left( {3; - 1;2} \right)\).

b) Độ dài đoạn thẳng\(AB\) là \(\sqrt 6 \).

c) Biết \(E \in Oy,\) khi đó tam giác \(BCE\) vuông tại \(E\) thì \(E\left( {0; - 6;0} \right)\).

d) \[M\] là điểm nằm trên đoạn \[AB\] sao cho \[MA = 2MB\] thì độ dài \[OM\] bằng  \[\frac{{\sqrt 6 }}{3}\].

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ (\(O\) là trung điểm của \(BC\)). Ta có: \(A'\left( {0;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right),\) \(B\left( {150;\,0;\,0} \right),\) \(C\left( { - 150;\,0;\,0} \right),\) \(C'\left( { - 150;\,0;\,300} \right),\)\(\overrightarrow {CA'}  = \left( {150;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right)\), \(\overrightarrow {BC'}  = \left( { - 300;\,0;\,300} \right)\)

          Gọi \(m,n\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CM}  = m\overrightarrow {CA'} \\\overrightarrow {BN}  = n\overrightarrow {BC'} \end{array} \right.\)  ta có \(M\left( { - 150 + 150m;\, - 150\sqrt 3 m;\,300m} \right)\), \(N\left( {150 - 300n;\,0;\,300n} \right)\)

           \( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 150m - 300n + 300;\,150\sqrt 3 m;\,300n - 300m} \right)\).

           Đường thẳng \(MN\) là đường vuông góc chung của \(A'C\) và \(BC'\)nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CA'}  = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC'}  = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m + n =  - 1\\ - m + 4n = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{2}{5}\\n = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {60;\,60\sqrt 3 ;\,60} \right) \Rightarrow MN = 60\sqrt 5 \)

Số tiền xây cầu là: \(T = 60\sqrt 5 .5 \approx 671\)tỷ đồng.

Đáp án: \(\left| {\overrightarrow F } \right| = 5\sqrt 2 \) .

Gọi tứ diện là \(S.ABC\) và \(M,\,G,\,G'\) lần lượt là trung điểm của \(BC\), trọng tâm của \(\Delta ABC\)và vị trí đặt đèn.

              \(S.ABC\) là tứ diện đều \( \Rightarrow \Delta ABC\) đều nên \(G\)là tâm của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

              \( \Rightarrow S,\,G',\,G\) thẳng hàng và \(SG' = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ sao cho \(M\left( {0;0;0} \right)\)

Có: \(AM = 5\sqrt 3 \), \(MG = \frac{1}{3}AM = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\),

\(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\), \(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}}  = \frac{{10\sqrt 6 }}{3}\) .

Khi đó: \(S\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;\frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)\), \(A\left( {5\sqrt 3 ;0;0} \right)\), \(B\left( {0; - 5;0} \right)\), \(C\left( {0;5;0} \right)\)

\(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow G\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;0} \right)\)\(\)

\( \Rightarrow SG' = \frac{3}{4}SG\) \( \Rightarrow \overrightarrow {SG'}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {SG} \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} - {x_S} = \frac{3}{4}\left( {{x_G} - {x_S}} \right)\\{y_{G'}} - {y_S} = \frac{3}{4}\left( {{y_G} - {y_S}} \right)\\{z_{G'}} - {z_S} = \frac{3}{4}\left( {{z_G} - {z_S}} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\\{y_{G'}} = 0\\{x_{G'}} = \frac{{5\sqrt 6 }}{6}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow G'\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;\frac{{5\sqrt 6 }}{6}} \right)\).

\( \Rightarrow G'A = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\).

\(\cos \left( {\overrightarrow {AG'} ,\overrightarrow {SG'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SG'} .\overrightarrow {AG'} }}{{\left| {\overrightarrow {SG'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AG'} } \right|}} =  - \frac{1}{3}\).

Gọi \(\overrightarrow F ,\,\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} \) lần lượt là lực tổng hợp và lực của hai dây tác dụng lên đèn

Có \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {F{}_1}  + \overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {AG'}  + \overrightarrow {SG'} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {AG'}  + \overrightarrow {SG'} } \right)}^2}} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {SG{'^2} + AG{'^2} + 2\overrightarrow {AG'} .\overrightarrow {SG'} } \)

 \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {SG{'^2} + AG{'^2} + 2AG'.SG'.\cos \left( {\overrightarrow {AG'} ,\overrightarrow {SG'} } \right)} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + 2.\frac{{5\sqrt 6 }}{2}.\frac{{5\sqrt 6 }}{2}.\left( { - \frac{1}{3}} \right)} \) \( = 5\sqrt 2 \).