Câu hỏi:

02/10/2025 13

Một đồ chơi có dạng hình tứ diện đều làm bằng thủy tinh có cạnh bằng $10cm$. Bên trong đặt một đèn nhỏ. Đèn đặt trên đường nối từ đỉnh của tứ diện xuống tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và cách đỉnh một khoảng là $\frac{{5\sqrt 6 }}{2}cm$. Đèn được nối bởi hai dây qua hai đỉnh của tứ diện như hình vẽ. Cường độ lực tổng hợp của hai dây tác dụng lên đèn là bao nhiêu?

$Một đồ chơi có dạng hình tứ diện đều làm bằng thủy tinh có cạnh bằng $10cm$. Bên trong đặt một đèn nhỏ. Đèn đặt trên đường nối từ đỉnh của tứ diện xuống tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và cách đỉnh một khoảng là $\frac{{5\sqrt 6 }}{2}cm$. (ảnh 1)$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án: $\left| {\overrightarrow F } \right| = 5\sqrt 2 $ .

$Một đồ chơi có dạng hình tứ diện đều làm bằng thủy tinh có cạnh bằng $10cm$. Bên trong đặt một đèn nhỏ. Đèn đặt trên đường nối từ đỉnh của tứ diện xuống tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và cách đỉnh một khoảng là $\frac{{5\sqrt 6 }}{2}cm$. (ảnh 2)$

Gọi tứ diện là $S.ABC$ và $M,\,G,\,G'$ lần lượt là trung điểm của $BC$, trọng tâm của $\Delta ABC$và vị trí đặt đèn.

$S.ABC$ là tứ diện đều $ \Rightarrow \Delta ABC$ đều nên $G$là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.

$ \Rightarrow S,\,G',\,G$ thẳng hàng và $SG' = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ sao cho $M\left( {0;0;0} \right)$

Có: $AM = 5\sqrt 3 $, $MG = \frac{1}{3}AM = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}$,

$AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}$, $SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \frac{{10\sqrt 6 }}{3}$ .

Khi đó: $S\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;\frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)$, $A\left( {5\sqrt 3 ;0;0} \right)$, $B\left( {0; - 5;0} \right)$, $C\left( {0;5;0} \right)$

$G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ $ \Rightarrow G\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;0} \right)$

$ \Rightarrow SG' = \frac{3}{4}SG$ $ \Rightarrow \overrightarrow {SG'} = \frac{3}{4}\overrightarrow {SG} $

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} - {x_S} = \frac{3}{4}\left( {{x_G} - {x_S}} \right)\\{y_{G'}} - {y_S} = \frac{3}{4}\left( {{y_G} - {y_S}} \right)\\{z_{G'}} - {z_S} = \frac{3}{4}\left( {{z_G} - {z_S}} \right)\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\\{y_{G'}} = 0\\{x_{G'}} = \frac{{5\sqrt 6 }}{6}\end{array} \right.$ $ \Rightarrow G'\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;\frac{{5\sqrt 6 }}{6}} \right)$.

$ \Rightarrow G'A = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}$.

$\cos \left( {\overrightarrow {AG'} ,\overrightarrow {SG'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SG'} .\overrightarrow {AG'} }}{{\left| {\overrightarrow {SG'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AG'} } \right|}} = - \frac{1}{3}$.

Gọi $\overrightarrow F ,\,\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} $ lần lượt là lực tổng hợp và lực của hai dây tác dụng lên đèn

Có $\overrightarrow F = \overrightarrow {F{}_1} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AG'} + \overrightarrow {SG'} $

$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {AG'} + \overrightarrow {SG'} } \right)}^2}} $

$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {SG{'^2} + AG{'^2} + 2\overrightarrow {AG'} .\overrightarrow {SG'} } $

$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {SG{'^2} + AG{'^2} + 2AG'.SG'.\cos \left( {\overrightarrow {AG'} ,\overrightarrow {SG'} } \right)} $

$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + 2.\frac{{5\sqrt 6 }}{2}.\frac{{5\sqrt 6 }}{2}.\left( { - \frac{1}{3}} \right)} $ $ = 5\sqrt 2 $.

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có \[A\left( {1;1;0} \right),B\left( { - 1;0;1} \right),C\left( {1; - 2;3} \right)\].

a) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $D\left( {3; - 1;2} \right)$.

b) Độ dài đoạn thẳng$AB$ là $\sqrt 6 $.

c) Biết $E \in Oy,$ khi đó tam giác $BCE$ vuông tại $E$ thì $E\left( {0; - 6;0} \right)$.

d) \[M\] là điểm nằm trên đoạn \[AB\] sao cho \[MA = 2MB\] thì độ dài \[OM\] bằng \[\frac{{\sqrt 6 }}{3}\].

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Đúng

Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1;1} \right),\,\overrightarrow {DC} = \left( {1 - x; - 2 - y;3 - z} \right)$

$ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = - 2\\ - 2 - y = - 1\\3 - z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1\\z = 2\end{array} \right.$. Vậy $D\left( {3; - 1;2} \right)$.

b) Đúng

Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 6 \]

c) Sai

Gọi $E\left( {0;m;0} \right) \in Oy$

Tam giác $BCE$ vuông tại $E$ thì $\overrightarrow {EB} .\overrightarrow {EC} = 0.\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: \[\overrightarrow {EB} = \left( { - 1; - m;1} \right),\,\overrightarrow {EC} = \left( {1; - m - 2;3} \right)\]

Khi đó \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 2 = 0\,\,\left( {VN} \right).\]

Vậy không có điểm $E$ thỏa mãn.

d) Đúng

Điểm M thuộc đoạn thẳng AB và \[MA = 2MB\]

Nên \[\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - {x_M} = - 2\left( {{x_B} - {x_M}} \right)\\{y_A} - {y_M} = - 2\left( {{y_B} - {y_M}} \right)\\{z_A} - {z_M} = - 2\left( {{z_B} - {z_M}} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_M} = - 2\left( { - 1 - {x_M}} \right)\\1 - {y_M} = - 2\left( { - {y_M}} \right)\\ - {z_M} = - 2\left( {1 - {z_M}} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_M} = - 1\\3{y_M} = 1\\3{z_M} = 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{ - 1}}{3}\\{y_M} = \frac{1}{3}\\{z_M} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 1}}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{2}{3}} \right)\].

Độ dài đoạn thẳng \[OM = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\].

Câu 2

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $A\left( {1; - 1;2} \right)$, $B\left( { - 2;0;3} \right)$, $C\left( {0;1; - 2} \right)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ là $G\left( {\frac{{ - 1}}{3};0;1} \right)$.

b) Độ dài đoạn thẳng $AB = \sqrt {11} $.

c) Tích có hướng $[\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ] = \left( { - 6;13; - 5} \right)$.

d) $M\left( {a;b;c} \right)$là điểm thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] sao cho biểu thức \[S = 2.\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \] đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó biểu thức \[T = a - b + c = \frac{1}{4}\].

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ là $G\left( {x;y;z} \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - 2 + 0}}{3} = - \frac{1}{3}\\y = \frac{{ - 1 + 0 + 1}}{3} = 0\\z = \frac{{2 + 3 - 2}}{3} = 1\end{array} \right.$.

Nên $G\left( {\frac{{ - 1}}{3};0;1} \right)$

Khẳng định a.đúng.

b) $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;1;1} \right)$$ \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt {11} $

Khẳng định b. đúng.

c) $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;1;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;2; - 4} \right)$.

Nên $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&{ - 4}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 3}\\{ - 4}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\{ - 1}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 6; - 13; - 5} \right)$.

Khẳng định c sai.

d) Vì $M\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow c = 0.$

Ta có: \[\overrightarrow {MA} = \left( {1 - a; - 1 - b;2} \right)\]; \[\overrightarrow {MB} = \left( { - 2 - a; - b;3} \right)\]; \[\overrightarrow {MC} = \left( { - a;1 - b; - 2} \right)\].

\[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \left( {1 - a} \right).\left( { - 2 - a} \right) + \left( { - 1 - b} \right).\left( { - b} \right) + 2.3\]\[ = {a^2} + {b^2} + a + b + 4\]\[\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = \left( { - 2 - a} \right).\left( { - a} \right) + \left( { - b} \right).\left( {1 - b} \right) + 3.\left( { - 2} \right)\]\[ = {a^2} + {b^2} + 2a - b - 6\]\[\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} = \left( { - a} \right).\left( {1 - a} \right) + \left( {1 - b} \right).\left( { - 1 - b} \right) + \left( { - 2} \right).2\]\[ = {a^2} + {b^2} - a - 5\]\[S = 2.\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \]

\[ = 4{a^2} + 4{b^2} + 3a + b - 3\] \[ = 4\left( {{a^2} + \frac{3}{4}a} \right) + 4\left( {{b^2} + \frac{1}{4}b} \right) - 3\]

\[ = 4{\left( {a + \frac{3}{8}} \right)^2} + 4{\left( {b + \frac{1}{8}} \right)^2} - \frac{{29}}{8} \ge - \frac{{29}}{8}\].

\[ \Rightarrow {S_{\min }} = - \frac{{29}}{8} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + \frac{3}{8} = 0\\b + \frac{1}{8} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{3}{8}\\b = - \frac{1}{8}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow T = a - b + c = - \frac{1}{4}\].

Khẳng định d sai.

Câu 3