Câu hỏi:

02/10/2025 185 Lưu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm \(A\left( {0\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right);\,\)\(B\left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 2} \right)\); \(C\left( {\,3\,;\,\,1\,;\,\, - 2} \right)\) và \(\,D\left( { - 2;\, - 2;\, - 1} \right)\).

a) Ba điểm \(A,\,B,D\) thẳng hàng

b) Tam giác \[ACD\] là tam giác vuông tại \(A\).

c) Góc giữa hai véctơ\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) là góc tù.

d) Bốn điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) không đồng phẳng.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Sai.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;\,2;\, - 3} \right)\); \(\overrightarrow {AD}  = \left( { - 2;\,0;\, - 2} \right)\)

Vì \(\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{2}{0} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 2}}\) nên ba điểm \(A,\,B,D\) không thẳng hàng

b) Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  = 3.\left( { - 2} \right) + 3.0 + \left( { - 3} \right)\,.\left( { - 2} \right) = 0\,\, \Rightarrow AC \bot AD\).

Suy ra tam giác \[ACD\] là tam giác vuông tại \(A\).

c) Đúng.

Mặt khác: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 1.\left( { - 5} \right) + 2.\left( { - 3} \right) + \left( { - 3} \right)\,.1 =  - 14\,\, < 0 \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) < 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)\) là góc tù.

d) Sai.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;\,2;\, - 3} \right);\,\,\overrightarrow {CD}  = \left( { - 5;\, - 3;\,1} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {3;\,3;\, - 3} \right)\,;\,\,\overrightarrow {BD}  = \left( { - 3;\, - 2;\,1} \right);\,\overrightarrow {AD}  = \left( { - 2;\,0;\, - 2} \right)\)

Khi đó: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3;\, - 6;\, - 3} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = \left( { - 2} \right).3 + 0.6 + \left( { - 2} \right)\left( { - 3} \right) = 0\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) đồng phẳng hay bốn điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) đồng phẳng.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp số: \(10\sqrt 3 \,\,\left( N \right)\).

Một tấm gỗ tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn xuất phát từ điểm \(O\) trên tr (ảnh 2)

Gọi \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt là các điểm sao cho \(\overrightarrow {O{A_1}}  = \overrightarrow {{F_1}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {O{B_1}}  = \overrightarrow {{F_2}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {O{C_1}}  = \overrightarrow {{F_3}} \)

Lấy các điểm D1,A1',B1',D1' sao cho OA1D1B1.C1A1'D1'B1' là hình hộp.

Theo quy tắc hình hộp ta có: OA1+OB1+OC1=OD1'

Do các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn: \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 10\left( N \right)\) nên hình hộp OA1D1B1.C1A1'D1'B1' có ba cạnh \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc và bằng nhau. Vì thế OA1D1B1.C1A1'D1'B1' là hình lập phương có độ dài cạnh bằng \(10\), suy ra độ dài đường chéo bằng \(10\sqrt 3 \)

Lời giải

Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt \(S\left( {0;0;30} \right)\) và các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt là \(A\left( {30;0;0} \right),B\left( {0;20;0} \right),C\left( { - 20;0;0} \ri (ảnh 2)

Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình vuông.

Ta có: \(\overrightarrow {SA}  = \left( {30;0; - 30} \right),\overrightarrow {SB}  = \left( {0;20; - 20} \right),\overrightarrow {SC}  = \left( { - 20;0; - 20} \right),\overrightarrow {SD}  = \left( {0; - 20; - 20} \right)\)

\( \Rightarrow SA = SB = SC = SD = 30\sqrt 2 \). Do đó \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều.

Các vecto \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \) có điểm đầu tại \(S\) và điểm cuối lần lượt là \(A',B',C',D'\).

Ta có \(SA' = SB' = SC' = SD'\) nên \(S.A'B'C'D'\) cũng là hình chóp tứ giác đều.

Gọi \(\overrightarrow F \) là trọng lực tác dụng lên chậu cây và \(O'\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\). Ta có:

\[\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  + \overrightarrow {{F_4}}  = \overrightarrow {SA'}  + \overrightarrow {SB'}  + \overrightarrow {SC'}  + \overrightarrow {SD'}  = 4\overrightarrow {SO'} \]

Ta có: \(\left| {\overrightarrow F } \right| = 60 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SO'} } \right| = SO = 15\).

Do tam giác \(SO'A'\) vuông cân nên \(SA' = SO'\sqrt 2  = 15\sqrt 2  = \frac{1}{2}SA \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {SA'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {SA}  = \left( {15;0; - 15} \right)\)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

\(\overrightarrow {{F_2}}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {SB}  = \left( {0;15; - 15} \right),\overrightarrow {{F_3}}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {SC}  = \left( { - 15;0; - 15} \right),\overrightarrow {{F_4}}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {SD}  = \left( {0; - 15; - 15} \right)\)

Suy ra: \(\overrightarrow {{F_1}}  + 2\overrightarrow {{F_2}}  + 3\overrightarrow {{F_3}}  + 4\overrightarrow {{F_4}}  = \left( { - 30; - 30; - 150} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}}  + 2\overrightarrow {{F_2}}  + 3\overrightarrow {{F_3}}  + 4\overrightarrow {{F_4}} } \right| = 90\sqrt 3  \approx 156\).