Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm \(A\left( {0\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right);\,\)\(B\left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 2} \right)\); \(C\left( {\,3\,;\,\,1\,;\,\, - 2} \right)\) và \(\,D\left( { - 2;\, - 2;\, - 1} \right)\).
a) Ba điểm \(A,\,B,D\) thẳng hàng
b) Tam giác \[ACD\] là tam giác vuông tại \(A\).
c) Góc giữa hai véctơ\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) là góc tù.
d) Bốn điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) không đồng phẳng.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm \(A\left( {0\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right);\,\)\(B\left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 2} \right)\); \(C\left( {\,3\,;\,\,1\,;\,\, - 2} \right)\) và \(\,D\left( { - 2;\, - 2;\, - 1} \right)\).
a) Ba điểm \(A,\,B,D\) thẳng hàng
b) Tam giác \[ACD\] là tam giác vuông tại \(A\).
c) Góc giữa hai véctơ\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) là góc tù.
d) Bốn điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) không đồng phẳng.
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Ôn tập cuối chương 2 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:

a) Sai.
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;\,2;\, - 3} \right)\); \(\overrightarrow {AD} = \left( { - 2;\,0;\, - 2} \right)\)
Vì \(\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{2}{0} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 2}}\) nên ba điểm \(A,\,B,D\) không thẳng hàng
b) Đúng.
Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = 3.\left( { - 2} \right) + 3.0 + \left( { - 3} \right)\,.\left( { - 2} \right) = 0\,\, \Rightarrow AC \bot AD\).
Suy ra tam giác \[ACD\] là tam giác vuông tại \(A\).
c) Đúng.
Mặt khác: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 1.\left( { - 5} \right) + 2.\left( { - 3} \right) + \left( { - 3} \right)\,.1 = - 14\,\, < 0 \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) < 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)\) là góc tù.
d) Sai.
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;\,2;\, - 3} \right);\,\,\overrightarrow {CD} = \left( { - 5;\, - 3;\,1} \right);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {3;\,3;\, - 3} \right)\,;\,\,\overrightarrow {BD} = \left( { - 3;\, - 2;\,1} \right);\,\overrightarrow {AD} = \left( { - 2;\,0;\, - 2} \right)\)
Khi đó: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3;\, - 6;\, - 3} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = \left( { - 2} \right).3 + 0.6 + \left( { - 2} \right)\left( { - 3} \right) = 0\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) đồng phẳng hay bốn điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) đồng phẳng.
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp số: \(10\sqrt 3 \,\,\left( N \right)\).
Gọi \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt là các điểm sao cho \(\overrightarrow {O{A_1}} = \overrightarrow {{F_1}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {O{B_1}} = \overrightarrow {{F_2}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {O{C_1}} = \overrightarrow {{F_3}} \)
Lấy các điểm sao cho là hình hộp.
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Do các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn: \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 10\left( N \right)\) nên hình hộp có ba cạnh \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc và bằng nhau. Vì thế là hình lập phương có độ dài cạnh bằng \(10\), suy ra độ dài đường chéo bằng \(10\sqrt 3 \)
Lời giải
Ta có: \(\overrightarrow {IJ} \,.\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {AB} = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} - \frac{3}{2}{{\overrightarrow {AB} }^2}} \right)\)
Lại có \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = AB.AD.cos60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\]
\[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = AC.AB.cos60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\].
Vậy: \(\overrightarrow {IJ} \,.\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{3}{2}{a^2}} \right) = - \frac{{{a^2}}}{4}\)
Có \[\widehat {CAD} = 90^\circ \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = 0.\]
\(\overrightarrow {IJ} \, = \,\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} } \right)\)
\(I{J^2} = {\overrightarrow {IJ} ^2}\, = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} } \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {\frac{{17}}{4}{a^2} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - 3\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{{5{a^2}}}{{16}}\)
\( \Rightarrow IJ = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}.\)
Vậy: \(\cos \left( {\overrightarrow {IJ} \,,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {IJ} \,.\overrightarrow {AB} }}{{IJ.AB}} = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{4}}}{{\frac{{a\sqrt 5 }}{4}.a}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.