Câu hỏi:

02/10/2025 32 Lưu

(1,0 điểm) Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt \(S\left( {0;0;30} \right)\)các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt là \(A\left( {30;0;0} \right),B\left( {0;20;0} \right),C\left( { - 20;0;0} \right),D\left( {0; - 20;0} \right)\) (đơn vị cm). Cho biết trọng lực tác dụng lên chậu cây có độ lớn \(60N\)và được phân bố thành bốn lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \) có độ lớn bằng nhau như hình vẽ. Tính \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + 2\overrightarrow {{F_2}} + 3\overrightarrow {{F_3}} + 4\overrightarrow {{F_4}} } \right|\) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt \(S\left( {0;0;30} \right)\) và các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt là \(A\left( {30;0;0} \right),B\left( {0;20;0} \right),C\left( { - 20;0;0} \ri (ảnh 1)

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt \(S\left( {0;0;30} \right)\) và các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt là \(A\left( {30;0;0} \right),B\left( {0;20;0} \right),C\left( { - 20;0;0} \ri (ảnh 2)

Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình vuông.

Ta có: \(\overrightarrow {SA}  = \left( {30;0; - 30} \right),\overrightarrow {SB}  = \left( {0;20; - 20} \right),\overrightarrow {SC}  = \left( { - 20;0; - 20} \right),\overrightarrow {SD}  = \left( {0; - 20; - 20} \right)\)

\( \Rightarrow SA = SB = SC = SD = 30\sqrt 2 \). Do đó \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều.

Các vecto \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \) có điểm đầu tại \(S\) và điểm cuối lần lượt là \(A',B',C',D'\).

Ta có \(SA' = SB' = SC' = SD'\) nên \(S.A'B'C'D'\) cũng là hình chóp tứ giác đều.

Gọi \(\overrightarrow F \) là trọng lực tác dụng lên chậu cây và \(O'\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\). Ta có:

\[\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  + \overrightarrow {{F_4}}  = \overrightarrow {SA'}  + \overrightarrow {SB'}  + \overrightarrow {SC'}  + \overrightarrow {SD'}  = 4\overrightarrow {SO'} \]

Ta có: \(\left| {\overrightarrow F } \right| = 60 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SO'} } \right| = SO = 15\).

Do tam giác \(SO'A'\) vuông cân nên \(SA' = SO'\sqrt 2  = 15\sqrt 2  = \frac{1}{2}SA \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {SA'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {SA}  = \left( {15;0; - 15} \right)\)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

\(\overrightarrow {{F_2}}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {SB}  = \left( {0;15; - 15} \right),\overrightarrow {{F_3}}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {SC}  = \left( { - 15;0; - 15} \right),\overrightarrow {{F_4}}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {SD}  = \left( {0; - 15; - 15} \right)\)

Suy ra: \(\overrightarrow {{F_1}}  + 2\overrightarrow {{F_2}}  + 3\overrightarrow {{F_3}}  + 4\overrightarrow {{F_4}}  = \left( { - 30; - 30; - 150} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}}  + 2\overrightarrow {{F_2}}  + 3\overrightarrow {{F_3}}  + 4\overrightarrow {{F_4}} } \right| = 90\sqrt 3  \approx 156\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp số: \(10\sqrt 3 \,\,\left( N \right)\).

Một tấm gỗ tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn xuất phát từ điểm \(O\) trên tr (ảnh 2)

Gọi \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt là các điểm sao cho \(\overrightarrow {O{A_1}}  = \overrightarrow {{F_1}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {O{B_1}}  = \overrightarrow {{F_2}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {O{C_1}}  = \overrightarrow {{F_3}} \)

Lấy các điểm D1,A1',B1',D1' sao cho OA1D1B1.C1A1'D1'B1' là hình hộp.

Theo quy tắc hình hộp ta có: OA1+OB1+OC1=OD1'

Do các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn: \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 10\left( N \right)\) nên hình hộp OA1D1B1.C1A1'D1'B1' có ba cạnh \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc và bằng nhau. Vì thế OA1D1B1.C1A1'D1'B1' là hình lập phương có độ dài cạnh bằng \(10\), suy ra độ dài đường chéo bằng \(10\sqrt 3 \)

Lời giải

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a \[\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ ,\,\]       \[\widehat {CAD} = 90^\circ \]. Gọi \(I\) là điểm trên c (ảnh 1)

Ta có: \(\overrightarrow {IJ} \,.\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {AB}  = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  - \frac{3}{2}{{\overrightarrow {AB} }^2}} \right)\)

Lại có \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = AB.AD.cos60^\circ  = \frac{{{a^2}}}{2}\]

 \[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = AC.AB.cos60^\circ  = \frac{{{a^2}}}{2}\].

      Vậy: \(\overrightarrow {IJ} \,.\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{3}{2}{a^2}} \right) =  - \frac{{{a^2}}}{4}\)

      Có \[\widehat {CAD} = 90^\circ  \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  = 0.\]

      \(\overrightarrow {IJ} \, = \,\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AJ}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} } \right)\)

      \(I{J^2} = {\overrightarrow {IJ} ^2}\, = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} } \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {\frac{{17}}{4}{a^2} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  - 3\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  - 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{{5{a^2}}}{{16}}\)

      \( \Rightarrow IJ = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}.\)

Vậy: \(\cos \left( {\overrightarrow {IJ} \,,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {IJ} \,.\overrightarrow {AB} }}{{IJ.AB}} = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{4}}}{{\frac{{a\sqrt 5 }}{4}.a}} =  - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP