Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = 3{u_n} + 10\) với mọi \(n \ge 1.\)
Chứng minh rằng:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = 3{u_n} + 10\) với mọi \(n \ge 1.\)
Chứng minh rằng:
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Dãy số (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:

Ta sẽ chứng minh \({u_n} = {2.3^n} - 5{\rm{ }}\left( 1 \right)\) bằng phương pháp quy nạp.
Với \(n = 1\), ta có: \({u_1} = {2.3^1} - 1 = 1\) (đúng). Vậy \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = 1.\)
Giả sử \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = k\left( {k \in {N^*}} \right)\). Có nghĩa là ta có: \({u_k} = {2.3^k} - 5{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Ta phải chứng minh \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = k + 1.\) Có nghĩa ta phải chứng minh:
\({u_{n + 1}} = {2.3^{k + 1}} - 5.\)
Từ hệ thức xác định dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và từ (2) ta có:
\({u_{k + 1}} = 3{u_k} + 10 = 3.\left( {{{2.3}^k} - 5} \right) + 10 = {2.3^k}.3 - 15 + 10 = {2.3^{k + 1}} - 5\) (đpcm).
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
- Trọng tâm Hóa học 11 dùng cho cả 3 bộ sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack - Sách 2025 ( 58.000₫ )
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 11 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k8 ( 45.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Đúng |
d) Sai |
Sau 1 tháng, số tiền bà Hoa nhận được là: \({T_1} = 200{\left( {1 + \frac{{0,05}}{{12}}} \right)^1} \approx 200,83\) (triệu đồng)
Sau 2 tháng, số tiền bà nhận được là: \({T_2} = 200{\left( {1 + \frac{{0,05}}{{12}}} \right)^2} \approx 201,67\) (triệu đồng);
Sau 14 tháng, số tiền bà nhận được là: \({T_{14}} = 200{\left( {1 + \frac{{0,05}}{{12}}} \right)^{14}} \approx 211,99\) (triệu đồng).
Sau 17 tháng, số tiền bà nhận được là: \({T_{17}} = 200{\left( {1 + \frac{{0,05}}{{12}}} \right)^{17}} \approx 214,65\) (triệu đồng).
Lời giải
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
Với mọi số nguyên dương \(n\), ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{u_{n + 1}} - {u_n}}&{ = n + 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \left( {n + \frac{1}{n}} \right)}\\{}&{ = 1 - \frac{1}{{(n + 1)n}} = \frac{{(n + 1)n - 1}}{{(n + 1)n}} > 0({\rm{v\`i }}(n + 1)n > 1,\forall n \ge 1).}\end{array}\)
Suy ra \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Vì vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(n,\frac{1}{n}\), ta được:
\(n + \frac{1}{n} \ge 2\sqrt {n \cdot \frac{1}{n}} = 2{\rm{ hay }}{u_n} \ge 2,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)
Vì vậy dãy số đã cho bị chặn dưới.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.