Câu hỏi:

04/10/2025 15 Lưu

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 1\)\({u_{n + 1}} = 3{u_n} + 10\) với mọi \(n \ge 1.\)

Chứng minh rằng: un=2.3n5   n1.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Ta sẽ chứng minh \({u_n} = {2.3^n} - 5{\rm{ }}\left( 1 \right)\) bằng phương pháp quy nạp.

Với \(n = 1\), ta có: \({u_1} = {2.3^1} - 1 = 1\) (đúng). Vậy \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = 1.\)

Giả sử \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = k\left( {k \in {N^*}} \right)\). Có nghĩa là ta có: \({u_k} = {2.3^k} - 5{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Ta phải chứng minh \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = k + 1.\) Có nghĩa ta phải chứng minh:

\({u_{n + 1}} = {2.3^{k + 1}} - 5.\)

Từ hệ thức xác định dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và từ (2) ta có:

\({u_{k + 1}} = 3{u_k} + 10 = 3.\left( {{{2.3}^k} - 5} \right) + 10 = {2.3^k}.3 - 15 + 10 = {2.3^{k + 1}} - 5\) (đpcm).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Sau 1 tháng, số tiền bà Hoa nhận được là: \({T_1} = 200{\left( {1 + \frac{{0,05}}{{12}}} \right)^1} \approx 200,83\) (triệu đồng)

Sau 2 tháng, số tiền bà nhận được là: \({T_2} = 200{\left( {1 + \frac{{0,05}}{{12}}} \right)^2} \approx 201,67\) (triệu đồng);

Sau 14 tháng, số tiền bà nhận được là: \({T_{14}} = 200{\left( {1 + \frac{{0,05}}{{12}}} \right)^{14}} \approx 211,99\) (triệu đồng).

Sau 17 tháng, số tiền bà nhận được là: \({T_{17}} = 200{\left( {1 + \frac{{0,05}}{{12}}} \right)^{17}} \approx 214,65\) (triệu đồng).

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

 Với mọi số nguyên dương \(n\), ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{u_{n + 1}} - {u_n}}&{ = n + 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \left( {n + \frac{1}{n}} \right)}\\{}&{ = 1 - \frac{1}{{(n + 1)n}} = \frac{{(n + 1)n - 1}}{{(n + 1)n}} > 0({\rm{v\`i }}(n + 1)n > 1,\forall n \ge 1).}\end{array}\)

Suy ra \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Vì vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(n,\frac{1}{n}\), ta được:

\(n + \frac{1}{n} \ge 2\sqrt {n \cdot \frac{1}{n}} = 2{\rm{ hay }}{u_n} \ge 2,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)

Vì vậy dãy số đã cho bị chặn dưới.

Câu 4

A. Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là một dãy số giảm.              
B. Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là một dãy số tăng.             
C. Số hạng thứ \[n + 1\] của dãy là \[{u_{n + 1}} = \sin \frac{\pi }{{n + 1}}\].              
D. Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là dãy số không bị chặn.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP