Phần II: Trắc nghiệm đúng-sai (5 câu-5 điểm)

Số tiền thưởng cuối năm của nhân viên công ty X được thống kê như sau (đơn vị triệu đồng):

3	5	7	12	15	11	4	5	8	15
16	18	20	22	15	29	28	22	24	26
16	21	25	26	29	6	8	10	17	18

 a, Hãy chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm với 6 nhóm có độ dài bằng nhau.

b, Các câu sau là Đúng hay Sai? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

b1, Tiền thưởng trung bình của các nhân viên là \(16,2\).

b2, Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 26.

b3, Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \(14,5\).

a) Với số liệu của học sinh lớp 12A, có khoảng biến thiên: \({R_A} = 175 - 145 = 30\).

Với số liệu của học sinh lớp 12B, có khoảng biến thiên: \({R_B} = 175 - 150 = 25\).

Vậy ta có \({R_A} > {R_B}\) nên chiều cao của học sinh lớp 12A phân tán hơn lớp 12B.

b)

 Với mẫu số liệu ghép nhóm của học sinh lớp 12A:

Cỡ mẫu là \(n = 2 + 1 + 15 + 11 + 9 + 3 = 41\). Gọi \({x_1}\,,\,{x_2}\,,\,{x_3}\,,...,\,{x_{41}}\) là mẫu số liệu gốc gồm chiều cao của học sinh lớp 12A được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{10}} + {x_{11}}} \right) \in \left[ {155\,;\,160} \right)\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {155\,;\,160} \right)\) và \({Q_1} = 155 + \frac{{\frac{{41}}{4} - 3}}{{15}}.5 \approx 157,42\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{31}} + {x_{32}}} \right) \in \left[ {165\,;\,170} \right)\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {165\,;\,170} \right)\) và \({Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.41}}{4} - 29}}{9}.5 \approx 165,97\).

Suy ra \(\Delta {Q_A} = {Q_3} - {Q_1} \approx 8,55\).

 Với mẫu số liệu ghép nhóm của học sinh lớp 12B:

Cỡ mẫu là \(n = 1 + 16 + 11 + 10 + 4 = 42\). Gọi \({x_1}\,,\,{x_2}\,,\,{x_3}\,,...,\,{x_{42}}\) là mẫu số liệu gốc gồm chiều cao của học sinh lớp 12B được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{11}} \in \left[ {155\,;\,160} \right)\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {155\,;\,160} \right)\) và \({Q_1} = 155 + \frac{{\frac{{42}}{4} - 1}}{{16}}.5 \approx 157,97\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{32}} \in \left[ {165\,;\,170} \right)\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {165\,;\,170} \right)\) và \({Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.42}}{4} - 28}}{{10}}.5 = 166,75\).

Suy ra \(\Delta {Q_B} = {Q_3} - {Q_1} \approx 8,78\).

Do \(\Delta {Q_A} < \Delta {Q_B}\) nên học sinh lớp 12A có chiều cao phân tán ít hơn học sinh lớp 12B.

c) Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta được bảng:

Chiều cao trung bình của học sinh lớp 12A là: \({\bar x_A} = \frac{1}{{41}}\left[ {2 \cdot 147,5 + 1 \cdot 152,5 + 15 \cdot 157,5 + 11 \cdot 162,5 + 9 \cdot 167,5 + 3 \cdot 172,5} \right] \approx 161,52\).

Chiều cao trung bình của học sinh lớp 12B là: \({\bar x_B} = \frac{1}{{42}}\left[ {0 \cdot 147,5 + 1 \cdot 152,5 + 16 \cdot 157,5 + 11 \cdot 162,5 + 10 \cdot 167,5 + 4 \cdot 172,5} \right] = 162,5\).

Phương sai của mẫu số liệu lớp 12A là

\(S_A^2 \approx \frac{1}{{41}}\left[ {2 \cdot {{147,5}^2} + 1 \cdot {{152,5}^2} + 15 \cdot {{157,5}^2} + 11 \cdot {{162,5}^2} + 9 \cdot {{167,5}^2} + 3 \cdot {{172,5}^2}} \right] - {\left( {161,52} \right)^2} \approx 35,83\) Phương sai của mẫu số liệu lớp 12B là

\(S_B^2 = \frac{1}{{42}}\left[ {0 \cdot {{147,5}^2} + 1 \cdot {{152,5}^2} + 16 \cdot {{157,5}^2} + 11 \cdot {{162,5}^2} + 10 \cdot {{167,5}^2} + 4 \cdot {{172,5}^2}} \right] - {\left( {162,50} \right)^2} \approx 27,38\)Vậy dựa vào phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm thì chiều cao của học sinh lớp 12A phân tán hơn học sinh lớp 12B.

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 12A là \(S_A^{} \approx \sqrt {35,83}  \approx 5,99\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 12B là \(S_B^{} \approx \sqrt {27,38}  \approx 5,23\).

Vậy học sinh lớp 12B có chiều cao đồng đều hơn học sinh lớp 12A vì có độ lệch chuẩn nhỏ hơn.

a) Đ. Nhóm \(\left[ {31;33} \right)\) có tần số bằng: 4.

b) S.Ta có nhóm \(\left[ {35;37} \right)\)có tần số lớn nhất nên Mốt của mẫu số liệu trên là \({M_0} = u + \frac{{{n_i} - {n_{i - 1}}}}{{2{n_i} - {n_{i - 1}} - {n_{i + 1}}}}.g = 35 + \frac{{13 - 5}}{{2.13 - 5 - 7}}.2 = 36,14\).

c) Đ Ta có số phần tử của mẫu là \(n = 30\).

+ Ta có \(\frac{n}{4} = 7,5\) nên nhóm \(\left[ {33;35} \right)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(7,5\). Nhóm \(\left[ {33;35} \right)\) có \(s = 33;h = 2;\,n = 5\) và nhóm 2 là nhóm \(\left[ {31;33} \right)\) có \(c{f_1} = 5\). Áp dụng công thức ta có tứ phân vị thứ nhất là \({Q_1} = 33 + \frac{{7,5 - 5}}{5}.2 = 34\)(\({}^0C\))

+ Ta có \(\frac{{3n}}{4} = 22,5\) nên nhóm \(\left[ {35;37} \right)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(22,5\). Xét nhóm 4 là nhóm \(\left[ {35;37} \right)\) có \(t = 35;\,l = 2;\,{n_4} = 13\) và nhóm 3 có tần số tích lũy \(c{f_4} = 10\). Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ 3 là \({Q_3} = 35 + \frac{{22,5 - 10}}{{13}}.2 = 36,92\)(\({}^0C\))

 + Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 36,92 - 34 = 2,92\)

d) Đ. Ta có số trụng bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(\overline x  = \frac{1}{{30}}\left( {1.30 + 32.4 + 34.5 + 36.13 + 38.7} \right) = 35,4\) (\({}^0C\))

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \({s^2} = \frac{1}{{30}}{\left( {1(30 - 35,4} \right)^2} + 4{(32 - 35.4)^2} + 5{(34 - 35,4)^2} + 13{(36 - 35.4)^2} + 7{(38 - 35.4)^2}) = 4,57\)