Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\). Điểm \(M\) trên cạnh \(AC\) thỏa mãn \(AM = x\left( {0 < x < a\sqrt 2 } \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(M\), \(\left( P \right)||SA\), \(\left( P \right)||BD\) hoặc \(\left( P \right) \supset BD\). Giá trị \(x\) thỏa mãn điều kiện nào để thiết diện của \(\left( P \right)\) và hình chóp \(S.ABCD\) là ngũ giác.              

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAD,M\) là điểm trên đoạn \(DC\) sao cho \(DC = 3DM\).

Chứng minh rằng \(MG//(SBC)\).

Cho hình chóp \(S.ABC\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\). Gọi \(H,K\) lần lượt là trọng tâm của \(\Delta SAB\) và \(\Delta SBC\). Khi đó:

a) \(AC//(SIJ)\).

b) \(HK\) cắt \(IJ\)

c) \(HK//(SAC)\).

d) Giao tuyến của \((BHK)\) và \((ABC)\) là đường thẳng đi qua \(B\) và song song với \(AC\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAD\) và \(E\) là điểm trên cạnh \(DC\) sao cho \(DC = 3DE,I\) là trung điểm \(AD\). Khi đó:

a) \(OI\) song song với mặt phẳng \((SAB)\)

b) \(OI\) song song với mặt phẳng \((SCD)\)

c) \(IE\) song song với \(AC\)

d) \(GE//(SBC)\)

Cho hai hình bình hành \(ABCD\), \(ABEF\) không đồng phẳng. \(M \in AC\), \(N \in BF\) để \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}} = \frac{1}{3}\). Chứng minh \(MN{\rm{//}}\left( {CDEF} \right)\).

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(A'B'C'\) và \(ABB'\). Chứng minh rằng \({G_1}{G_2}{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(AD\) sao cho \(AD = 3AM\). Gọi \(G,N\) theo thứ tự là trọng tâm các tam giác \(SAB,ABC\). Khi đó:

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) là đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AC,BD\)

b) \[\frac{{DN}}{{DB}} = \frac{1}{3}\]

c) \(MN\) song song với mặt phẳng \((SCD)\)

d)\(NG\) cắt với mặt phẳng \((SAC)\).