Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AD$, $BC,CD$. Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt phẳng $(APQ)$ và $(CMN)$ song song với đường thẳng $BD$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Đường thẳng và mặt phẳng song song (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AD$, $BC,CD$. Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt phẳng $(APQ)$ và $(CMN)$ song song với đường thẳng $BD$. (ảnh 1)$

Vì $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABD$ nên $MN//BD$, mà $MN \subset (CMN)$ nên $BD//(CMN)$. Vì $PQ$ là đường trung bình của tam giác $BCD$ nên $PQ//BD$, mà $PQ \subset (APQ)$ nên $BD//(APQ)$.

Trong mặt phẳng $(ABC)$, gọi $I$ là giao điểm của $AP$ và $MC$; trong mặt phẳng $(ACD)$, gọi $J$ là giao điểm của $AQ$ và $NC$. Khi đó, $IJ$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(APQ)$ và $(CMN)$. Mà $BD//(CMN)$ và $BD//(APQ)$ nên \[IJ//BD\].

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. ${G_1},{G_2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $A'B'C'$ và $ABB'$. Chứng minh rằng ${G_1}{G_2}{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)$.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$. ${G_1},{G_2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $A'B'C'$ và $ABB'$. Chứng minh rằng ${G_1}{G_2}{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)$. (ảnh 1)$

Gọi $M$ là trung điểm của $B'C'$. ${G_1}$ là trọng tâm $\Delta A'B'C'$ nên ta có : $\frac{{A'{G_1}}}{{A'M}} = \frac{2}{3}$ $\left( 1 \right)$.

${G_2}$ là trọng tâm $\Delta ABB'$ nên $\frac{{B{G_2}}}{{\frac{1}{2}A'B}} = \frac{2}{3}$ $ \Rightarrow \frac{{B{G_2}}}{{A'B}} = \frac{1}{3}$$ \Rightarrow \frac{{A'{G_2}}}{{A'B}} = \frac{2}{3}$ $\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$ ta có : $\frac{{A'{G_1}}}{{A'M}} = \frac{{A'{G_2}}}{{A'B}}$$ \Rightarrow {G_1}{G_2}{\rm{//}}BM$, $BM \subset \left( {BCC'B'} \right)$$ \Rightarrow {G_1}{G_2}{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)$.

Câu 2

Cho hai hình bình hành $ABCD$, $ABEF$ không đồng phẳng. $M \in AC$, $N \in BF$ để $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}} = \frac{1}{3}$. Chứng minh $MN{\rm{//}}\left( {CDEF} \right)$.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho hai hình bình hành $ABCD$, $ABEF$ không đồng phẳng. $M \in AC$, $N \in BF$ để $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}} = \frac{1}{3}$. Chứng minh $MN{\rm{//}}\left( {CDEF} \right)$. (ảnh 1)$

Dựng $O = DM \cap AB$, mà $AB//CD$ nên theo định lý Talet có $\frac{{AO}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{1}{2}$$ \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AB$, hay $O$ là trung điểm của $AB$.

Dựng $O' = EN \cap AB$, mà \[AB{\rm{//}}EF\] nên theo định lý Talet có $\frac{{BO}}{{EF}} = \frac{{BN}}{{NF}} = \frac{1}{2}$$ \Rightarrow BO' = \frac{1}{2}AB$, hay $O'$ là trung điểm của $AB$.

Từ hai điều trên ta có $O \equiv O'$. Vậy suy ra $\frac{{OM}}{{MD}} = \frac{1}{2} = \frac{{ON}}{{NE}}$\[ \Rightarrow MN{\rm{//}}DE\]$ \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {DCEF} \right)$.

Câu 3