Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x} & {\rm{khi }}x > 0\\mx + m + \frac{1}{4} & {\rm{khi }}x \le 0\end{array} \right.\), \[m\] là tham số. Tìm giá trị của \[m\] để hàm số có giới hạn tại \[x = 0\].

Lời giải

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 4}  - 2}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left( {x + 4} \right) - {2^2}}}{{x\left( {\sqrt {x + 4}  + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{{x\left( {\sqrt {x + 4}  + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 4}  + 2}} = \frac{1}{4}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {mx + m + \frac{1}{4}} \right) = m + \frac{1}{4}\)

Hàm số đã cho có giới hạn tại \(x = 0\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\)

\( \Rightarrow F = \left( { - \frac{5}{2}; - 2;0} \right)\).