Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - {x^2}}&{{\rm{ khi }}x < 2}\\{\sqrt {x + 2} }&{{\rm{ khi }}x \ge 2}\end{array}} \right.\).

a) Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = - 8\]

b) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = - 3\)

c) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = 2\)

d) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 4\)

a) Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \sqrt 5 \]

b) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} < 2\) và \({x_n} \to 2\), ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = 1 - x_n^2\).

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = 1 - {2^2} = - 3\).

c) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} > 2\) và \({x_n} \to 2\), ta có \(f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {{x_n} + 2} \).

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {2 + 2} = 2\).

d) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\) (hay \( - 3 \ne 2\)) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)\).