Cho \(m\) là một số thực. Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [(m - x)(mx + 1)] = - \infty \). Xác định dấu của \(m\).

Đặt \[f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 1} \right){x^3} - 2{m^2}{x^2} - 4x + {m^2} + 1\].

Hàm số \[f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 1} \right){x^3} - 2{m^2}{x^2} - 4x + {m^2} + 1\] liên tục trên \[\mathbb{R}\].

Ta có: \[f\left( x \right) = {m^2}\left( {{x^3} - 2{x^2} + 1} \right) + {x^3} - 4x + 1\]

\[f\left( { - 3} \right) = - 44{m^2} - 14 < 0;\,\,\forall m\]

\[f\left( 0 \right) = {m^2} + 1 > 0,\forall m\,\]

\[f\left( 1 \right) = - 2\]

\[f\left( 2 \right) = {m^2} + 1 > 0\,;\,\,\forall m\]

Vì \[f\left( { - 3} \right).\,f\left( 0 \right) < 0\] nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng \[\left( { - 3;0} \right)\].

Vì \[f\left( 0 \right).\,f\left( 1 \right) < 0\] nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng \[\left( {0;1} \right)\].

Vì \[f\left( 1 \right).\,f\left( 2 \right) < 0\] nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng \[\left( {1;2} \right)\].

Vậy phương trình \[\left( {{m^2} + 1} \right){x^3} - 2{m^2}{x^2} - 4x + {m^2} + 1 = 0\] có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng \[\left( { - 3;2} \right)\], mà phương trình đã cho là bậc 3 nên phương trình có đúng 3 nghiệm

Lời giải

Chọn B

Xét mọi dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) sao cho \(\lim {x_n} =  + \infty  \Rightarrow \lim \frac{1}{{{x_n}}} = 0\)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right) = \lim \left( {\frac{{\sin {x_n}}}{{{x_n}}}} \right)\)

Ta có \(\left| {\frac{{\sin {x_n}}}{{{x_n}}}} \right| \le \frac{1}{{{x_n}}}\) mà \(\mathop {\lim }\limits_{} \left( {\frac{1}{{{x_n}}}} \right) = 0\) nên \(\left| {\frac{{\sin {x_n}}}{{{x_n}}}} \right|\) nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ số hạng nào đó trở đi

Theo định nghĩa dãy số có giới hạn \(0\) ta có \(\lim \left( {\frac{{\sin {x_n}}}{{{x_n}}}} \right) = 0\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right) = 0\)