Cho bốn hàm số \({f_1}\left( x \right) = 2{x^3} - 3x + 1\), \({f_2}\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{x - 2}}\), \({f_3}\left( x \right) = \cos x + 3\) và \({f_4}\left( x \right) = {\log _3}x\). Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập \(\mathbb{R}\)?

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} & {\rm{khi}}\,x \ne 1\\x + 1 & {\rm{khi}}\,x = 1\end{array} \right.\) và \(g(x) = 4{x^2} - x + 1\). Khi đó:

a) Ta có \(f(1) = 2\)

b) Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\)

c) Hàm số \(g\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0} = 1\)

d) Hàm số \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\)

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}}&{{\rm{ khi }}x \ne 2}\\{\frac{{2a + 1}}{6}}&{{\rm{ khi }}x = 2}\end{array}} \right.\) và \(g(x) = \sin \frac{{\pi x}}{4}\). Khi đó:

a) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{2}\)

b) Hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

c) Khi \(a = 1\) thì hàm số \(f(x)\) liên tục tại \({x_0} = 2\)

d) Khi \(a = 0\) thì hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 2\)

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{x - 2}}}&{{\rm{ khi }}x \ne 2}\\a&{{\rm{ khi }}x = 2.}\end{array}} \right.\)

Tìm giá trị của tham số \(a\) để hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \(x = 2\).

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - \sqrt {5x + 11} }}{{2{x^2} - 5x - 18}} & {\rm{khi}}\,x > - 2\\4 - {x^2} & & {\rm{khi}}\,x \le - 2\end{array} \right.\) và \(g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}}}&{{\rm{ khi }}x \ne - 2}\\{2x + a}&{{\rm{ khi }}x = - 2}\end{array}} \right.\) , khi đó:

a) Ta có\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \frac{5}{{26}}\)

b) Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = - 2\)

c) Để hàm số \(g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = - 2\) thì \(a = 1\)

d) Khi \(a = - 1\) thì hàm số \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\) gián đoạn tại điểm \({x_0} = - 2\)

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}\text{ , \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}0<x<9\\ m\text{ , \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x=0\\ \frac{3}{x}\text{ , \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x\ge 9\end{array}\right.$.Tìm $m$ để $f\left(x\right)$ liên tục trên $\left[0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Xét tính liên tục của hàm số \(y = f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x|x - 3|}}{{x - 3}}}&{{\rm{ khi }}x \ne 3}\\3&{{\rm{ khi }}x = 3}\end{array}} \right.\) tại điểm \(x = 3\).