Câu hỏi:

06/10/2025 37 Lưu

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 3} - m}}{{x - 1}}\,khi\,x \ne 1\\n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 1\end{array} \right..\) Để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\) thì giá trị của biểu thức \(\left( {m + n} \right)\) tương ứng bằng:

A. \(\frac{3}{4}.\)     
B. \(1.\)                    
C. \( - \frac{1}{2}.\)            
D. \(\frac{9}{4}.\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Chọn D

Ta có: \(f\left( 1 \right) = n.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 - {m^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + m} \right)}}.\)

Hàm số liên tục tại \(x = 1\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\, \Leftrightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 - {m^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + m} \right)}}\,\,\,\,(1).\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\)tồn tại khi \(1\) là nghiệm của phương trình: \(1 + 3 - {m^2} = 0\, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 2\end{array} \right..\)

+ Khi \(m = 2\) thì \(\left( 1 \right)\, \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + 2} \right)}} \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} \Rightarrow n = \frac{1}{4}.\)

+ Khi \(m =  - 2\) thì \(\left( 1 \right) \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3}  - 2}}\) suy ra không tồn tại \(n.\)

Vậy \(m + n = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}.\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

 

Ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = f(1) = 1 + 1 = 2\).

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2 = f\left( {{x_0}} \right){\rm{. }}\)

Vậy hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Ta có: \(g\left( {{x_0}} \right) = g(1) = 4\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {4{x^2} - x + 1} \right) = 4 = g(1)\)

Vậy hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Câu 2

A. \(a = 0\).                
B. \(a = - \frac{1}{2}\).            
C. \(a = \frac{1}{2}\).            
D. \(a = 1\).

Lời giải

Chọn C

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 1}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}\]\[ = \frac{1}{2}\].

Để hàm số liên tục tại \[{x_0} = 1\] khi \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\]\( \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP